Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A G. 791. feladat (2022. október)

G. 791. Zsonglőrködő elméleti fizikus a következő mutatványt találja ki. Egymás tetejére helyez \(\displaystyle n\) számú, tökéletesen rugalmas labdát, közöttük igen kicsiny résekkel. A labdatornyot kemény felületre ejti, ahová a labdák \(\displaystyle v\) sebességgel érkeznek meg. A sorozatos pillanatszerű ütközések után a legfelső labda kivételével minden lejjebb lévő labda megáll, a legfelső viszont \(\displaystyle nv\) sebességgel pattan fel. Bizonyítsuk be (például a teljes indukció módszerével), hogy ez a mutatvány akkor teljesülhet, ha a labdák tömege kielégíti a következő formulát:

\(\displaystyle m_k=\frac{2m_0}{k(1+k)}, \)

ahol \(\displaystyle m_0\) a legalsó labda tömege, valamint \(\displaystyle k=1, 2, 3, \dots, (n-1), n\).

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A megadott formula szerint a labdák tömege:

\(\displaystyle m_1=m_0,\quad m_2=\frac13 m_0,\quad \ldots\)

Tekintsük először az \(\displaystyle n=2\) esetet. Az alsó labda \(\displaystyle v_0\) sebességgel pattan fel a talajról, majd ütközik a lefelé \(\displaystyle v_0\) sebességgel mozgó felső labdával. Ha ezután az alsó labda megáll, a felső pedig \(\displaystyle 2v_0\) sebességgel kezd el mozogni felfelé, akkor a tökéletesen rugalmas ütközés lendület- és energiamegmaradási törvénye szerint

\(\displaystyle -m_2 v_0+m_1v_0=m_2\cdot(2v_0),\)

illetve

\(\displaystyle \frac12 m_2v_0^2+\frac12 m_1v_0^2=\frac12 m_2(2v_0)^2.\)

Mindkét feltétel teljesül, ha

\(\displaystyle \frac{m_2}{m_1}=\frac13,\)

ami valóban fennáll, tehát \(\displaystyle n=2\)-re a mutatvány sikeres.

Tételezzük fel, hogy \(\displaystyle n-1\) labdával a mutatvány a leírt módon bemutatható, és vizsgáljuk meg, milyen tömegarány esetén lesz a mutatvány sikeres \(\displaystyle n\) labdával is. Ismét a megmaradási törvényeket írjuk fel:

\(\displaystyle -m_nv_0+m_{n-1}\cdot(n-1)v_0=m_n\cdot (nv_0),\)

valamint

\(\displaystyle \frac12 m_nv_0^2+\frac12 m_{n-1}(n-1)^2v_0^2=\frac12 m_n(nv_0)^2.\)

Mindkét feltétel teljesül, ha

\(\displaystyle m_n=\frac{n-1}{n+1}m_{n-1},\)

ami valóban fennáll, hiszen a megadott formula szerint

\(\displaystyle m_n= \frac{2m_0}{n(n+1)}\qquad\text{és}\qquad m_{n-1}= \frac{2m_0}{(n-1)n}.\)

Ezzel beláttuk, hogy a mutatvány – elvben – akárhány labdával sikeres lehet.

Megjegyzés. Túlságosan sok labda nyilván nem helyezhető el ,,pontosan'' egymás tetejére, így ha \(\displaystyle n\gg2\), a mutatvány a labdák oldalirányú szétrepülése miatt még a legügyesebb elméleti fizikusnak sem fog sikerülni.


Statisztika:

11 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Antal Áron, Bencze Mátyás, Nagy 639 Csenge, Sütő Áron, Tóth Hanga Katalin, Zhang Wenshuo Steve, Žigo Boglárka.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2022. októberi fizika feladatai