A G. 845. feladat (2024. március)

G. 845. Egy személyautó és egy tehergépkocsi egyszerre indul el egy derékszögű útkereszteződésből. A személyautó \(\displaystyle 20~\text{m}/\text{s}\), a teherautó \(\displaystyle 15~\text{m}/\text{s}\) nagyságú sebességgel egyenletesen halad. A teherautó 10 perc múlva egy bekötőúthoz érve irányt változtat 90 fokkal, majd ott halad tovább korábbi sebességével. Mekkora távolságra lehet egymástól az autó és a tehergépkocsi a kiindulástól számított 20 perc múlva?

Tarján Imre Országos Emlékverseny, Szolnok

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A derékszögű útkereszteződést ábrázoljuk egy Descartes-féle koordináta-rendszerben. Rögzítsük azt, hogy a személyautó a pozitív \(\displaystyle x\) irányba mozog, sebessége állandó, nagysága \(\displaystyle 20\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}=72\,\mathrm{\tfrac{km}{h}}\). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle 20\,\mathrm{perc}=\tfrac{1}{3}\,\mathrm{h}\) múlva az origótól 24 km távolságra lesz. Az \(\displaystyle x\)-\(\displaystyle y\) koordináta-rendszerben km egységekben ez a (24; 0) pont.

A teherautó 10 percig (\(\displaystyle \tfrac{1}{6}\) óráig) halad \(\displaystyle 15\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}=54\,\mathrm{\tfrac{km}{h}}\) sebességgel, tehát ezalatt 9 km-t tesz meg. A teherautó mozoghat a \(\displaystyle \pm x\) vagy akár a \(\displaystyle \pm y\) irányba is, de 10 perc múlva az origótól mindenképpen 9 km-re lesz. Ezután derékszögben elfordul, és újabb 10 perc alatt további 9 km-t tesz meg. Vegyük észre, hogy bármerre indult is a teherautó, és utána bármerre fordult, mindenképpen az \(\displaystyle x\)-\(\displaystyle y\) koordináta-rendszerben a tengelyek \(\displaystyle 45\,^\circ\)-os szögfelezőjére kerül, az origótól \(\displaystyle \sqrt{2}\cdot\,9\,\mathrm{km}\)-re. A teherautó koordinátái a következők lehetnek: (\(\displaystyle \pm 9;\,\pm 9\)), ami összesen négy esetet ír le.

A feladatban a két jármű távolságát kell kiszámítani az indulástól számított 20 perc elteltekor. Az \(\displaystyle x\) tengelyre vonatkozó tükörszimmetria miatt beláthatjuk, hogy a járművek távolságát tekintve összesen két eset van. Vagy a (24; 0) és a (9; 9) pont távolságát, vagy pedig a (24; 0) és a (-9; 9) pont távolságát kell meghatároznunk. A két távolság a következő:

\(\displaystyle \sqrt{(24-9)^2+9^2}=17{,}5\,\mathrm{km},\)

illetve

\(\displaystyle \sqrt{(24+9)^2+9^2}=34{,}2\,\mathrm{km}.\)

Statisztika:

A G. 845. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai