 |
A G. 847. feladat (2024. március) |
G. 847. Egy \(\displaystyle R_1=1~\text{M}\Omega\) ellenállással párhuzamosan kapcsolunk egy \(\displaystyle R_2\) ellenállást, majd fokozatosan további \(\displaystyle R_3,R_4,~\ldots,R_n\) ellenállásokat kapcsolunk párhuzamosan hozzá. Az egyes lépésekben az eredő ellenállás rendre
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle \frac{1}{2}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \frac{1}{3}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \frac{1}{4}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle \frac{R_1}{n}\);
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle \frac{1}{2}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \frac{1}{4}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \frac{1}{8}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle \frac{R_1}{2^n}\);
\(\displaystyle c)\) \(\displaystyle \frac{1}{1\cdot2}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \frac{1}{1\cdot2\cdot3}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}~\text{M}\Omega\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle \frac{R_1}{n!}\).
Mekkorák az egyes esetekben az \(\displaystyle R_2\), \(\displaystyle R_3\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle R_n\) ellenállások?
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Közismert, hogy ha \(\displaystyle n\) egyforma, \(\displaystyle R\) értékű ellenállást párhuzamosan kapcsolunk, akkor az eredő ellenállás \(\displaystyle \frac{R}{n}\) lesz. Ennek megfelelően, ha azt akarjuk, hogy az eredeti \(\displaystyle R\) ellenállás felét, harmadát, negyedét, \(\displaystyle \frac{1}{n}\)-ed részét kapjuk, akkor mindig újabb és újabb ugyanakkora, \(\displaystyle R_1=1\,\mathrm{M}\Omega\) értékű ellenállást kell párhuzamosan hozzákapcsolnunk a többihez.
\(\displaystyle b)\) Ha az első \(\displaystyle R_1\) ellenálláshoz egy ugyanakkorát kapcsolunk párhuzamosan, akkor az eredő ellenállás a fele lesz, vagyis \(\displaystyle R_1/2\). Ehhez a kettőhöz viszont egy \(\displaystyle R_1/2\) értékű ellenállást kell kötnünk, hogy a három eredője \(\displaystyle R_1/4\) legyen. Ezt folytatva a harmadik hozzákapcsolt ellenállásnak \(\displaystyle R_1/4\) értékűnek kell lennie ahhoz, hogy az immár négy tagból álló kapcsolásnak \(\displaystyle R_1/8\) legyen az eredője. A meglévőkhöz párhuzamosan hozzákapcsolt ellenállások sorozata tehát ez:
\(\displaystyle R_2=R_1,\,R_3=R_1/2,\,R_4=R_1/4,\,R_5=R_1/8,\,R_6=R_1/16,\,\ldots,\,R_n=R_1/2^{(n-2)}.\)
\(\displaystyle c)\) Keressük azt az \(\displaystyle R_n\) ellenállást, amit az előzőkhöz kapcsolva teljes eredőként \(\displaystyle \frac{R_1}{n!}\) értéket kapunk. A feladat szerint az előzők eredője \(\displaystyle \frac{R_1}{(n-1)!}\). A párhuzamos kapcsolás formulája szerint a következő összefüggést írhatjuk fel:
\(\displaystyle \frac{1}{\frac{R_1}{(n-1)!}}+\frac{1}{R_n}=\frac{1}{\frac{R_1}{n!}},\)
amiből
\(\displaystyle R_n=\frac{1}{\frac{1}{\frac{R_1}{n!}}-\frac{1}{\frac{R_1}{(n-1)!}}}=\frac{R_1}{n!-(n-1)!}=\frac{R_1}{(n-1)[(n-1)!]}.\)
Tehát a kérdéses sorozat a következő:
\(\displaystyle R_2=R_1,\,R_3=R_1/4,\,R_4=R_1/18,\,R_5=R_1/96,\,\ldots,\,R_n=\frac{R_1}{(n-1)[(n-1)!]}.\)
Behelyettesítéssel tudjuk ellenőrizni, hogy az általános képlet jól működik a sorozat első néhány tagja esetében.
Statisztika:
40 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Antal Áron, Barth Albert Krisztián, Bora Ádám, Kisida Kata, Sógor-Jász Soma, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Szabó András, Szabó Márton, Ta Minh Khoa, Tajta Sára, Vincze Anna. 3 pontot kapott: Bohner Emese, Bús László Teodor, Fülöp Magdaléna, Havas Dániel, Horváth Kristóf Dominik, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Varga 511 Vivien. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 4 dolgozat.
A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai