Problem G. 864. (October 2024)

G. 864. In the circuit shown in the schematic diagram, a power source supplies \(\displaystyle U=24~\mathrm{V}\) DC voltage, the voltmeter reads \(\displaystyle 10~\mathrm{V}\), ammeter \(\displaystyle \mathrm{A}_1\) reads \(\displaystyle 0.2~\mathrm{A}\), and ammeter \(\displaystyle \mathrm{A}_2\) reads \(\displaystyle 0.7~\mathrm{A}\).

\(\displaystyle a)\) Determine the resistance of each resistor.

\(\displaystyle b)\) How much heat is dissipated in the circuit during 2 minutes?

All three meters can be considered ideal, and the resistance of the connecting wires and the internal resistance of the power source are negligible.

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Az \(\displaystyle R_1\) és \(\displaystyle R_3\) ellenállásokon a voltmérő által mutatott feszültség, \(\displaystyle U_{1,3}=10\,\mathrm{V}\) esik, így az \(\displaystyle R_2\) ellenállásra \(\displaystyle U_2=U-U_{1,3}=14\,\mathrm{V}\) jut. Az \(\displaystyle R_1\) és \(\displaystyle R_2\) ellenállások áramát közvetlenül mérik a velük sorba kapcsolt árammérők: \(\displaystyle I_1=0{,}2\,\mathrm{A}\) és \(\displaystyle I_2=0{,}7\,\mathrm{A}\). Az \(\displaystyle R_3\) ellenállás árama a két áram különbsége: \(\displaystyle I_3=I_2-I_1=0{,}5\,\mathrm{A}\).

Az egyes ellenállások nagysága az Ohm-törvény alapján:

\(\displaystyle R_1=\frac{U_1}{I_1}=50\,\Omega,\qquad R_2=\frac{U_2}{I_2}=20\,\Omega,\qquad\textrm{és}\qquad R_3=\frac{U_3}{I_3}=20\,\Omega.\)

b) Az áramkör teljesítménye a kapocsfeszültség és a főágbeli áram szorzata:

\(\displaystyle P=UI_2=24\,\mathrm{V}\cdot 0{,}7\,\mathrm{A}=16{,}8\,\mathrm{W}.\)

Megjegyzés. A teljesítmény kiszámítható az egyes ellenállások teljesítményének összegeként is a \(\displaystyle P_i=U_iI_i\), a \(\displaystyle P_i=R_iI_i^2\) és a \(\displaystyle P_i=U_i^2/R_i\) összefüggések valamelyikének használatával:

\(\displaystyle P=U_1I_1+U_2I_2+U_3I_3=I_1^2R_1+I_2^2R_2+I_3^ˇR_3=\frac{U_1^2}{R_1}+\frac{U_2^2}{R_2}+\frac{U_3^2}{R_3}=16{,}8\,\mathrm{W}.\)

Az áramkörben 2 perc alatt fejlődő hő:

\(\displaystyle Q=Pt=16{,}8\,\mathrm{W}\cdot 120\,\mathrm{s}=2016\,\mathrm{J}\approx 2\,\mathrm{kJ}.\)

Megjegyzés. A ma használt digitális voltmérők belső ellenállása legalább \(\displaystyle 1\,\mathrm{M}\Omega\), így a feladatban előforduló ellenállásokhoz képest nagyon nagy, ,,végtelennek'' tekinthető, tehát az ideális műszer közelítés mindenképp jogos. Az ampermérők belső ellenállása viszont a méréshatártól függően akár \(\displaystyle 1\,\mathrm{k}\Omega\) is lehet, ami egyáltalán nem elhanyagolható az ellenállások értéke mellett. (Épp ezért célszerű úgy kialakítani a mérő áramkört, hogy a voltmérő csak az ellenálláson eső feszültséget mérje, az ampermérőn esőt ne.) Esetünkben az lehet a megoldás, hogy az ampermérőt \(\displaystyle 10\,\mathrm{A}\)-es méréshatáron használjuk, ahol az ellenállása csak néhány tized ohm, ami ha nem is nulla, de aránylag kicsi az ellenállások értéke mellett. (Ennek azonban az az ára, hogy az áram értékét kevésbé pontosan tudjuk mérni.)

Statistics:

43 students sent a solution.
4 points:	Békési Máté, Blaskovics Bálint, Csáki Anikó, Csonka Áron, Hegedüs Márk, Horváth Zsombor, Huba Zsombor , József Áron, Kakas Noel, Kámán-Gausz Péter, Kávrán-Kőnig Balázs, Kis Dániel, Kossár Benedek Balázs, Kovács Artúr-Lehel, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Majer Veronika, Molnár Sámuel , Nemes Máté Imre, Németh Ábel, Patócs 420 Péter, Rácz Koppány Bendeguz, Sipos Dániel Sándor, Sógor-Jász Soma, Szabó András, Szighardt Anna, Szűcs Kitti, Tóth Domonkos, Vízhányó Janka, Zsuga Medárd.
3 points:	Kerekes Zsófia Erzsébet , Kis Luca Rebeka, Palik Csenge, Sipeki Andor.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2024