Problem G. 868. (November 2024)

G. 868. The resistance of the edges of the rhombus shown in the figure is \(\displaystyle R\), and the resistance of the diagonal is \(\displaystyle xR\), where \(\displaystyle x\ge 0\) is a variable parameter. A voltage supply \(\displaystyle U\) is connected across two arbitrary chosen vertices. For each possible case, calculate the total dissipated power in the five resistors as a function of the parameter \(\displaystyle x\).

(4 pont)

Deadline expired on December 16, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha az 1-3 pontokra kapcsoljuk az \(\displaystyle U\) feszültséget, akkor az \(\displaystyle xR\) ellenálláson nem folyik áram, az eredő ellenállás pedig \(\displaystyle R\) lesz, vagyis a hőteljesítmény \(\displaystyle x\)-től függetlenül

\(\displaystyle P_{1-3}=\frac{U^2}{R}.\)

Ha a 2-4 pontokra kötjük a tápfeszültséget, akkor az olyan, mintha az \(\displaystyle xR\) ellenállással egyetlen \(\displaystyle R\) ellenállást kapcsolnánk párhuzamosan. Ezek eredője

\(\displaystyle \frac{x}{1+x}R,\)

tehát a teljes hőteljesítmény

\(\displaystyle P_{2-4}=\frac{U^2(1+x)}{xR}.\)

Ha bármely más csúcspárra kötjük az \(\displaystyle U\) feszültséget, akkor az elrendezés szimmetriája miatt mindig ugyanakkora hőteljesítményt kapunk. Vizsgáljuk mondjuk az 1-2 csúcspárt. Ezekben az esetekben \(\displaystyle 2R\) ellenállás van párhuzamos kötve az \(\displaystyle xR\) ellenállással, ami eredőben

\(\displaystyle \frac{2x}{2+x}R\)

ellenállást ad, amihez még egy \(\displaystyle R\) ellenállás jön sorosan:

\(\displaystyle \frac{2x}{2+x}R+R=\frac{3x+2}{2+x}R.\)

Végül ehhez még egy ellenállás van kapcsolva párhuzamosan:

\(\displaystyle \frac{\frac{3x+2}{2+x}}{\frac{3x+2}{2+x}+1}R=\frac{3x+2}{4x+4}R,\)

tehát a teljes hőteljesítmény:

\(\displaystyle P_{1-2}=\frac{(4x+4)U^2}{(3x+2)R}.\)

Megjegyzés. Ha \(\displaystyle x\rightarrow\infty\), akkor \(\displaystyle P_{2-4}\rightarrow P_{1-3}=\frac{U^2}{R}\), ami \(\displaystyle x\)-től független, míg \(\displaystyle P_{1-2}\rightarrow\frac{4U^2}{3R}\).

Ha \(\displaystyle x\rightarrow 0\), akkor \(\displaystyle P_{2-4}\rightarrow\infty\), míg \(\displaystyle P_{1-2}\rightarrow\frac{2U^2}{R}\).

Statistics:

23 students sent a solution.
4 points:	Békési Máté, Blaskovics Bálint, Csáki Anikó, Hegedüs Márk, Majer Veronika, Molnár Sámuel , Szabó András, Szighardt Anna, Szűcs Kitti, Tóth Domonkos.
3 points:	Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Rácz Koppány Bendeguz, Sipos Dániel Sándor, Sógor-Jász Soma.
2 points:	1 student.
1 point:	4 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, November 2024