Problem G. 887. (April 2025)

G. 887. A steel ball has a diameter of \(\displaystyle 4.160\,\mathrm{cm}\) at \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\), and a circular hole in an aluminium sheet, made by laser cutting technology, has a diameter of \(\displaystyle 4.150\,\mathrm{cm}\) at \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\). The coefficients of linear expansion are: \(\displaystyle \alpha_{\textrm{Al}}=2.4\cdot 10^{-5}\,\mathrm{\tfrac{1}{K}}\) and \(\displaystyle \alpha_{\textrm{steel}}=1.2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{\tfrac{1}{K}}\). (Ignore the temperature dependence of the coefficients of thermal expansion.)

a) What is the temperature of the steel ball when it is just passing through the hole in the \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\) aluminium plate?

b) What is the temperature of the aluminium sheet when a steel ball of temperature \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\) can just fit through the hole?

c) What is the common temperature at which the hole and the ball have the same diameter?

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vegyük fel az adatokat, illetve a kiszámolandó mennyiségeket: \(\displaystyle d_{0\,\textrm{acél}}=4{,}160\,\mathrm{cm}\); \(\displaystyle d_{0\,\textrm{Al}}=4{,}150\,\mathrm{cm}\); \(\displaystyle \alpha_\textrm{acél}=1{,}2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{\tfrac{1}{K}}\); \(\displaystyle \alpha_{\textrm{Al}}=2{,}4\cdot 10^{-5}\,\mathrm{\tfrac{1}{K}}\); \(\displaystyle T_\textrm{acél}=?\) \(\displaystyle T_\textrm{Al}=?\) \(\displaystyle T_\textrm{közös}=?\)

a) A lineáris hőtágulás egyenlete:

\(\displaystyle \Delta\ell=\alpha\ell_0\Delta T.\)

Az acélgolyó átmérője \(\displaystyle 0{,}010\,\mathrm{cm}\)-rel nagyobb, mint a \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\)-os alumíniumlemezen lévő lyuk átmérője, ezért a golyót hűteni kell ahhoz, hogy átférjen a lyukon:

\(\displaystyle \Delta T_\textrm{acél}=\frac{\Delta\ell}{\alpha_\textrm{acél}d_{0\,\textrm{acél}}}=\frac{-0{,}010\,\mathrm{cm}}{1{,}2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{\frac{1}{K}}\cdot 4{,}160\,\mathrm{cm}}=-200{,}3\,^\circ\mathrm{C}\approx-200\,^\circ\mathrm{C}.\)

Az acélgolyót tehát \(\displaystyle T_\textrm{acél}=-200\,^\circ\mathrm{C}\)-ra (ez lényegében a folyékony nitrogén hőmérséklete) kell lehűtenünk ahhoz, hogy átférjen a lyukon.

Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a megoldásban felváltva használtuk a K (kelvin) és a \(\displaystyle ^\circ\mathrm{C}\) egységeket olyan mennyiségek esetén, ahol hőmérséklet-különbségekről van szó. Ezzel nem vétünk hibát, ugyanis a hőmérséklet-különbségek megegyeznek a kétféle skálán, mert azok között csak egy 273 fokos eltolás adja az eltérést.

b) A lyuk ugyanúgy tágul, mintha anyaggal lenne kitöltve, tehát a lyuk hőtágulásánál is ugyanúgy kell eljárnunk, mint az acélgolyó esetén:

\(\displaystyle \Delta T_\textrm{Al}=\frac{\Delta\ell}{\alpha_\textrm{Al}\cdot d_{0\,\textrm{Al}}}=\frac{0{,}010\,\mathrm{cm}}{2{,}4 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{\frac{1}{K}}\cdot 4{,}150\,\mathrm{cm}}=100{,}4\,^\circ\mathrm{C}\approx100\,^\circ\mathrm{C}.\)

Az alumíniumlemezt tehát \(\displaystyle T_\textrm{Al}=100\,^\circ\mathrm{C}\)-ra kell felmelegítenünk ahhoz, hogy az acélgolyó átférjen rajta.

Megjegyzés. Nem véletlen, hogy az acélgolyó esetén abszolút értékre kétszer akkora hőmérséklet-változás jött ki, mert az acélnak éppen feleakkora a hőtágulási együtthatója, mint az alumíniumnak, tehát ugyanakkora átmérő változáshoz kétszeres hőmérséklet-változás kell. Nagyon pontosan számolva nem egészen kell kétszer akkora, mert a kiindulási átmérők egy kissé eltérnek egymástól.

c) Kiinduláskor az alumíniumban a lyuk átmérője kisebb, mint az acélban, azonban a hőtágulási együtthatója nagyobb, tehát melegítve valamikor utoléri az acélt. Használjuk ki, hogy az alumínium kétszer akkorát tágul, mint az acél, és kezdetben \(\displaystyle 0{,}010\,\mathrm{cm}\) a köztük lévő különbség. Ha tehát az acél \(\displaystyle 0{,}010\,\mathrm{cm}\)-t tágul, akkor az alumínium \(\displaystyle 0{,}020\,\mathrm{cm}\)-t, vagyis éppen egyforma lesz az átmérő. Az acél \(\displaystyle 0{,}010\,\mathrm{cm}\)-es hőtágulásához \(\displaystyle 200\,^\circ\mathrm{C}\)-os melegítés kell, ugyanígy az alumínium \(\displaystyle 0{,}020\,\mathrm{cm}\)-es tágulásához is, tehát a helyes válasz az, hogy a közös hőmérséklet: \(\displaystyle T_\textrm{közös}=200\,^\circ\mathrm{C}\).

Megjegyzés. Azok kedvéért, akik nem szeretik az ilyen logikai megfontolásokat, nézzük meg, hogyan lehet egyenletekkel megoldani a feladat c) részét:

\(\displaystyle \Delta\ell_\textrm{Al}=\Delta\ell_\textrm{acél}+0{,}010\,\mathrm{cm},\)

vagyis

\(\displaystyle \alpha_\textrm{Al}d_{0\,\textrm{Al}}\Delta T=\alpha_\textrm{acél}d_{0\,\textrm{acél}}\Delta T+0{,}010\,\mathrm{cm},\)

amiből a hőmérséklet-változás így fejezhető ki:

\(\displaystyle \Delta T=\frac{0{,}010\,\mathrm{cm}}{\alpha_\textrm{Al}d_{0\,\textrm{Al}}-\alpha_\textrm{acél}d_{0\,\textrm{acél}}}=201{,}3\,^\circ\mathrm{C},\)

vagyis a fenti logikai megfontolásunk 1%-nál pontosabb eredményt adott.

Statistics:

31 students sent a solution.
4 points:	Békési Máté, Blaskovics Bálint, Bora Ádám, Csáki Anikó, Csonka Áron, Hegedüs Márk, Horváth Zsombor, Kakas Noel, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Majer Veronika, Medgyesi András, Molnár Sámuel , Németh Ábel, Patócs 420 Péter, Rácz Koppány Bendeguz, Sipeki Andor, Sógor-Jász Soma, Szabó András, Szighardt Anna, Tóth Domonkos, Vízhányó Janka.
3 points:	Macskássy Márk, Szilaj Petra.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, April 2025