Problem G. 891. (May 2025)

G. 891. A domino-shaped block is made from some low-conducting material. The size of the block is: \(\displaystyle 0.5\,\mathrm{cm}\times 3\,\mathrm{cm}\times 6\,\mathrm{cm}\). The resistance of the domino is measured so that current flows between the opposite faces of the domino. The connections are made such that the current density in the domino is uniform. The voltages are chosen so that the magnitude of the current density is the same in all three cases.

a) What is the ratio of the three measured resistances?

b) What is the ratio of the applied three voltage values?

c) What is the ratio of the dissipated energy per second due to Joule heating in the three cases.

(4 pont)

Deadline expired on June 16, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Az ellenállást a méretek és a fajlagos ellenállás ismeretében számíthatjuk ki: \(\displaystyle R=\varrho\tfrac{\ell}{A}\). Mivel a fajlagos ellenállás mindhárom esetben ugyanakkora, így csak az számít, hogy melyik lapra merőlegesen folyik az áram. Az ellenállások aránya rendre a legnagyobb, közepes, illetve legkisebb lapra merőleges áramirány esetén:

\(\displaystyle \frac{0{,}5}{3\cdot 6}:\frac{3}{0{,}5\cdot 6}:\frac{6}{0{,}5\cdot 3}=\frac{1}{36}:1:4=1:36:144.\)

b) Legyen az áramsűrűség egységnyi, ami mindenhol, mindig ugyanakkora. Az áramerősség tehát az egyes lapok területével arányos, vagyis az előző sorrend szerint az arányok:

\(\displaystyle (3\cdot 6):(0{,}5\cdot 6):(0{,}5\cdot 3)=18:3:1{,}5=12:2:1.\)

Az alkalmazott feszültségek arányát a megfelelő ellenállások és áramerősségek szorzatainak arányaként kaphatjuk meg:

\(\displaystyle \frac{18}{36}:(1\cdot 3):(4\cdot 1{,}5)=0{,}5:3:6=1:6:12.\)

c) Ha mindhárom esetben azonos az áramsűrűség, akkor a hőteljesítménynek (a másodpercenként felszabaduló hőnek) minden esetben ugyanakkorának kell lennie.

Az ellenállást így írhatjuk fel: \(\displaystyle R=\varrho\tfrac{\ell}{A}\); az áramerősséget így: \(\displaystyle I=jA\), ahol \(\displaystyle j\) az áramsűrűség, a hőteljesítményt pedig így:

\(\displaystyle P=RI^2=\varrho\frac{\ell}{A}(jA)^2=\varrho j^2\ell A=\varrho j^2V,\)

ahol \(\displaystyle V\) az áramvezető-anyag térfogata. Látható tehát, hogy az egységnyi térfogatban másodpercenként felszabaduló Joule-hő így adható meg: \(\displaystyle \varrho j^2\).

Nyers erővel is ugyanerre az eredményre jutunk, ha összeszorozzuk a megfelelő ellenállásokat az áramerősség-négyzetekkel, vagy a feszültség-négyzeteket elosztjuk az ellenállásokkal, vagy a feszültségeket az áramerősségekkel szorozzuk, vagyis kiszámítjuk az egyes hőteljesítményeket:

\(\displaystyle \left(\frac{1}{36}\cdot 18^2\right):\left(1\cdot 3^2\right):\left(4\cdot 1{,}5^2\right)=\frac{0{,}5^2}{\frac{1}{36}}:\frac{3^2}{1}:\frac{6^2}{4}=(18\cdot 0{,}5):(3\cdot 3):(1{,}5\cdot 6)=9:9:9=1:1:1.\)

Statistics:

23 students sent a solution.
4 points:	Békési Máté, Csáki Anikó, Csonka Áron, Hegedüs Márk, Horváth Zsombor, Kossár Benedek Balázs, Lakatos Levente, Majer Veronika, Medgyesi András, Molnár Sámuel , Rácz Koppány Bendeguz, Sipeki Andor, Szighardt Anna, Tóth Domonkos, Vízhányó Janka.
3 points:	Németh Ábel, Szabó András.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2025