Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K/C. 707. feladat (2021. november)

K/C. 707. Néhány (legalább kettő) gyerek körbeáll, és ,,kiesős'' játékot játszik. Ebben a játékban a kezdő játékostól kezdve minden második gyerek kiesik, és kiáll a körből, az utolsóként bent maradó játékos győz. Például, ha hatan játszanak (A, B, C, D, E, F) és A kezd, akkor B, D, F, C, A sorrendben állnak ki, így E a győztes. Hány gyerek esetén lehet győztes a kezdő játékos?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás.

Hány gyerek van: 2 3 4 5 6
Kiesési sorrend (a végén a győztessel): B, A B, A, C B, D, C, A B, D, A, E, C B, D, F, C, A, E
Hány gyerek van: 7 8 9
Kiesési sorrend (a végén a győztessel): B, D, F, A, E, C, G B, D, F, H, C, G, E, A B, D, F, H, A, E, I, G, C

Eddig úgy tűnik, az első (A) akkor győzhet, ha a gyerekek száma 2, 4 vagy 8. Azt sejtjük, hogy az első (A) akkor győzhet, ha a gyerekek száma kettő hatvány. Ha a gyerekek száma kettő hatvány, akkor azért nyer az első (A), mert az első körben kiesik minden páros sorszámú gyerek (a gyerekek fele), tehát A játékban marad úgy, hogy ismét ő az első játékos. A gyerekek száma ekkor a kezdeti létszám fele, azaz ismét kettő hatvány. A következő kör(ök)ben hasonlóan történik minden, mint eddig és végül 2 gyerek marad, akik közül A az első, így ő lesz a győztes.

Ha a gyerekek száma nem kettő hatvány, akkor nem nyerhet az első (A). Ha kiesik néhány gyerek úgy, hogy a megmaradó gyerekek száma már kettő hatvány lesz, akkor az a gyerek fog győzni, aki az utolsó kieső után jön közvetlenül és ez a gyerek A nem lehet. Például, ha 13 gyerek van, akkor az első 5 kieső (B, D, F, H, J) után megmarad 8 gyerek és a J utáni játékos, K lesz a győztes.


Statisztika:

232 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:117 versenyző.
4 pontot kapott:31 versenyző.
3 pontot kapott:22 versenyző.
2 pontot kapott:20 versenyző.
1 pontot kapott:18 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:2 dolgozat.

A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai