A K/C. 727. feladat (2022. március)

K/C. 727. Egy \(\displaystyle n\times n\)-es táblázat mezőire egy-egy pénzérmét helyezünk el úgy, hogy mindegyik érmén a ,,fej'' van felül. Egy lépésben bármelyik sorban vagy oszlopban pontosan három érmét fordíthatunk meg, így azokon a fejből írás lesz, az írásból pedig fej. Elérhetjük-e így valahány lépésben, hogy minden érmén írás legyen felül, ha \(\displaystyle n>2\)? Válaszunkat indokoljuk.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Igen, elérhetjük minden \(\displaystyle n>2\) esetén.

Ha \(\displaystyle n\) 3-mal osztható, akkor soronként hármasával haladva minden sorban csupa írás lesz felül.

Ha \(\displaystyle n\) 3-mal osztva 1 maradékot ad, akkor soronként hármasával haladva érjük el, hogy \(\displaystyle n-4\) írás és 4 fej legyen. Fordítsunk meg 1 írást és 2 fejet, így \(\displaystyle n-3\) írás és 3 fej lesz, majd fordítsuk meg a 3 fejet; és ezt a többi sorral is csináljuk meg. (n=4-re: Minden sorban csináljuk pl. ezt a négy lépést: FFFF, IIIF, FFII, FIFF, IIII.)

Ha \(\displaystyle n\) 3-mal osztva 2 maradékot ad, akkor soronként hármasával haladva érjük el, hogy \(\displaystyle n-2\) írás és 2 fej legyen. Fordítsunk meg 2 írást és 1 fejet, így \(\displaystyle n-3\) írás és 3 fej lesz, majd fordítsuk meg a 3 fejet; és ezt a többi sorral is csináljuk meg.

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai