 |
A K/C. 747. feladat (2022. december) |
K/C. 747. Egy negyvenszöget valamelyik átlója két olyan sokszögre bontja, melyeknek összesen 298-cal kevesebb átlója van, mint a negyvenszögnek. Hány oldalúak ezek a sokszögek?
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A két kisebb sokszögnek egy közös oldala van, így az oldalszámaik összege 42, és mindkét sokszög csúcsainak száma legfeljebb 39. Pontosan azok az eredeti átlók hiányoznak a két kisebb sokszög esetén, melyek a két sokszög szétválasztott csúcsait kötötték össze (mindegyiket mindegyikkel), illetve az az átló, amely mentén vágtunk. A két sokszög szétválasztott csúcsai számának szorzata tehát 297. Az alábbi táblázatban láthatjuk a lehetőségeket (\(\displaystyle 297=3^3\cdot11\)).
| az egyik sokszögben a nem közös csúcsok száma | 1 | 3 | 9 | 11 |
| a másik sokszögben a nem közös csúcsok száma | 297, ami túl sok | 99, ami túl sok | 33 | 27 |
| egyik sokszög oldalszáma | nem lehetséges | nem lehetséges | 11 | 13 |
| másik sokszög oldalszáma | nem lehetséges | nem lehetséges | 35 | 29 |
| a nagy sokszög oldalszáma | nem lehetséges | nem lehetséges | 44 | 40 |
A négy lehetőség közül egy megfelelő. A negyvenszöget egy tizenháromszögre és egy huszonkilencszögre vágta az átló.
Statisztika:
271 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 161 versenyző. 4 pontot kapott: 39 versenyző. 3 pontot kapott: 19 versenyző. 2 pontot kapott: 19 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 15 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 5 dolgozat.
A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai