A K/C. 752. feladat (2023. január)

K/C. 752. A 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 számok közül \(\displaystyle k\)-féleképpen választhatunk ki legalább két olyan számot, amelyek összege osztható 3-mal. Fejezzük ki \(\displaystyle k\) segítségével, hogy hányféleképpen választhatunk ki a 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 számok közül legalább kettőt úgy, hogy az összegük osztható legyen 3-mal. (Két kiválasztás akkor különböző, ha nem ugyanazok a számok szerepelnek benne.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az eredeti 8 szám közül kiválasztott legalább 2 szám továbbra is megfelelő (\(\displaystyle k\) db lehetőség), és ezekhez hozzájön még az összes olyan, ami ezeket a választásokat egészíti ki 9-cel, vagy 18-cal, vagy 9-cel és 18-cal. Minden ilyenből újabb k db van. Ezen kívül megfelelnek azok az eddig nem számolt esetek, amikor a 12 vagy a 15 mellé választjuk a 9-et, vagy a 18-at, vagy mindkettőt, ez 6 újabb lehetőség. Valamint jó még a 9-18 választás is. Összesen tehát \(\displaystyle 4k+7\) lehetőség van.

Statisztika:

153 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	55 versenyző.
4 pontot kapott:	20 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	28 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2023. januári matematika feladatai