 |
A K/C. 767. feladat (2023. április) |
K/C. 767. Adott a síkban az \(\displaystyle ABCD\) négyzet. A \(\displaystyle k\) körvonal áthalad az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) pontokon és érinti a \(\displaystyle CD\) oldalt. Legyen \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle k\) körvonal és a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle B\)-vel nem azonos metszéspontja. Határozzuk meg a \(\displaystyle \frac{CM}{BM}\) arány pontos értékét.
Javasolta: Keszegh István (1950–2019)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Jelöljük a feladatban szereplő kört \(\displaystyle k\)-val és legyen a \(\displaystyle k\) kör középpontja \(\displaystyle O\). Mivel \(\displaystyle k\) az \(\displaystyle E\) pontban érinti \(\displaystyle CD\)-t, ezért \(\displaystyle OE\) merőleges \(\displaystyle CD\)-re, de akkor \(\displaystyle OE\) egyenese merőleges a \(\displaystyle CD\)-vel párhuzamos \(\displaystyle AB\)-re is. Az \(\displaystyle OE\) tehát a \(\displaystyle k\) kör egy átmérőjének egyenese, és ilyen módon az \(\displaystyle F\) pontban merőlegesen felezi a kör \(\displaystyle AB\) húrját. Ez azt is jelenti, hogy \(\displaystyle OE\) merőlegesen felezi a \(\displaystyle CD\) szakaszt, vagyis \(\displaystyle E\) a \(\displaystyle CD\) felezőpontja. Tekintsük az 1. ábrát, amelyen a négyzet oldalát \(\displaystyle a\)-val, a \(\displaystyle CM\) szakasz hosszát \(\displaystyle x\)-szel jelöltük.
1. ábra
Az \(\displaystyle AM\) szakasz áthalad az \(\displaystyle O\) ponton, hiszen \(\displaystyle ABM\sphericalangle=90^{\circ}\), így a Thalész-tétel megfordítása miatt \(\displaystyle AM\) a kör átmérője. Ebből az is következik, hogy \(\displaystyle AEM\sphericalangle=90^{\circ}\). Az \(\displaystyle AME\) derékszögű háromszögre felírjuk a Pitagorasz-tételt:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle AE^2+ME^2=AM^2.\) |
Az \(\displaystyle AED\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle AD=a\) és \(\displaystyle \displaystyle{ED=\frac{a}{2}}\), ezért a Pitagorasz-tétel alapján
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{AE^2=a^2+\frac{a^2}{4}}.\) |
Az \(\displaystyle EMC\) derékszögű háromszögből \(\displaystyle \displaystyle{EC=\frac{a}{2}}\) és \(\displaystyle CM=x\) felhasználásával a Pitagorasz-tételből
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{ME^2=x^2+\frac{a^2}{4}}\) |
következik.
Végül az \(\displaystyle AMB\) derékszögű háromszögből \(\displaystyle AB=a\) és \(\displaystyle BM=a-x\); a Pitagorasz-tétel miatt
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \displaystyle{AM^2=a^2+\big(a-x\big)^2}.\) |
Behelyettesítjük a (2)-(3)-(4) eredményeket az (1) egyenletbe:
\(\displaystyle \displaystyle{a^2+\frac{a^2}{4}+x^2+\frac{a^2}{4}=a^2+\big(a-x\big)^2},\)
ahonnan a műveletek elvégzésével és rendezéssel
\(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{a}{4}}\)
következik. Ez azt jelenti, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{CM}{BM}=\frac{\frac{a}{4}}{\frac{3a}{4}}=\frac{1}{3}},\)
tehát az \(\displaystyle M\) pont a \(\displaystyle BC\) szakasz \(\displaystyle C\)-hez legközelebbi negyedelőpontja.
2. megoldás. Az 1. megoldásban látott módon igazolhatjuk, hogy \(\displaystyle E\) felezőpontja a \(\displaystyle CD\) szakasznak és az \(\displaystyle AM\) szakasz átmérő az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle k\) körben, emiatt \(\displaystyle AEM\sphericalangle=90^{\circ}\).
A következő ábrán a \(\displaystyle CME\sphericalangle=\alpha\) és az \(\displaystyle MEC\sphericalangle=\beta\) jelöléseket alkalmaztuk, amelyekre nyilvánvalóan teljesül, hogy
\(\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}.\)
2. ábra
Az \(\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}\) összefüggés miatt \(\displaystyle AED\sphericalangle=\alpha\) és így \(\displaystyle DAE\sphericalangle=\beta\).
Az \(\displaystyle EMC\) és \(\displaystyle AED\) derékszögű háromszögek megfelelő szögei egyenlők, ez a két háromszög tehát hasonló, ezért a két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik. Eszerint: \(\displaystyle \displaystyle{\frac{CM}{CE}=\frac{ED}{AD}}\), azaz \(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{\frac{a}{2}}=\frac{\frac{a}{2}}{a}}\).
Ebből a műveletek elvégzése és egyszerűsítés után adódik, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{a}{4}},\)
vagyis az \(\displaystyle M\) pont a \(\displaystyle BC\) szakasz \(\displaystyle C\)-hez legközelebbi negyedelőpontja, tehát
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{CM}{BM}=\frac{1}{3}}.\)
Statisztika:
92 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 54 versenyző. 4 pontot kapott: 4 versenyző. 3 pontot kapott: 14 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai