A K/C. 767. feladat (2023. április)

K/C. 767. Adott a síkban az $\displaystyle ABCD$ négyzet. A $\displaystyle k$ körvonal áthalad az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ pontokon és érinti a $\displaystyle CD$ oldalt. Legyen $\displaystyle M$ a $\displaystyle k$ körvonal és a $\displaystyle BC$ oldal $\displaystyle B$-vel nem azonos metszéspontja. Határozzuk meg a $\displaystyle \frac{CM}{BM}$ arány pontos értékét.

Javasolta: Keszegh István (1950–2019)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Jelöljük a feladatban szereplő kört $\displaystyle k$-val és legyen a $\displaystyle k$ kör középpontja $\displaystyle O$. Mivel $\displaystyle k$ az $\displaystyle E$ pontban érinti $\displaystyle CD$-t, ezért $\displaystyle OE$ merőleges $\displaystyle CD$-re, de akkor $\displaystyle OE$ egyenese merőleges a $\displaystyle CD$-vel párhuzamos $\displaystyle AB$-re is. Az $\displaystyle OE$ tehát a $\displaystyle k$ kör egy átmérőjének egyenese, és ilyen módon az $\displaystyle F$ pontban merőlegesen felezi a kör $\displaystyle AB$ húrját. Ez azt is jelenti, hogy $\displaystyle OE$ merőlegesen felezi a $\displaystyle CD$ szakaszt, vagyis $\displaystyle E$ a $\displaystyle CD$ felezőpontja. Tekintsük az 1. ábrát, amelyen a négyzet oldalát $\displaystyle a$-val, a $\displaystyle CM$ szakasz hosszát $\displaystyle x$-szel jelöltük.

1. ábra

Az $\displaystyle AM$ szakasz áthalad az $\displaystyle O$ ponton, hiszen $\displaystyle ABM\sphericalangle=90^{\circ}$, így a Thalész-tétel megfordítása miatt $\displaystyle AM$ a kör átmérője. Ebből az is következik, hogy $\displaystyle AEM\sphericalangle=90^{\circ}$. Az $\displaystyle AME$ derékszögű háromszögre felírjuk a Pitagorasz-tételt:

Az $\displaystyle AED$ derékszögű háromszögben $\displaystyle AD=a$ és $\displaystyle \displaystyle{ED=\frac{a}{2}}$, ezért a Pitagorasz-tétel alapján

Az $\displaystyle EMC$ derékszögű háromszögből $\displaystyle \displaystyle{EC=\frac{a}{2}}$ és $\displaystyle CM=x$ felhasználásával a Pitagorasz-tételből

következik.
Végül az $\displaystyle AMB$ derékszögű háromszögből $\displaystyle AB=a$ és $\displaystyle BM=a-x$; a Pitagorasz-tétel miatt

Behelyettesítjük a (2)-(3)-(4) eredményeket az (1) egyenletbe:

$\displaystyle \displaystyle{a^2+\frac{a^2}{4}+x^2+\frac{a^2}{4}=a^2+\big(a-x\big)^2},$

ahonnan a műveletek elvégzésével és rendezéssel

$\displaystyle \displaystyle{x=\frac{a}{4}}$

következik. Ez azt jelenti, hogy

$\displaystyle \displaystyle{\frac{CM}{BM}=\frac{\frac{a}{4}}{\frac{3a}{4}}=\frac{1}{3}},$

tehát az $\displaystyle M$ pont a $\displaystyle BC$ szakasz $\displaystyle C$-hez legközelebbi negyedelőpontja.

2. megoldás. Az 1. megoldásban látott módon igazolhatjuk, hogy $\displaystyle E$ felezőpontja a $\displaystyle CD$ szakasznak és az $\displaystyle AM$ szakasz átmérő az $\displaystyle O$ középpontú $\displaystyle k$ körben, emiatt $\displaystyle AEM\sphericalangle=90^{\circ}$.

A következő ábrán a $\displaystyle CME\sphericalangle=\alpha$ és az $\displaystyle MEC\sphericalangle=\beta$ jelöléseket alkalmaztuk, amelyekre nyilvánvalóan teljesül, hogy

$\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}.$

2. ábra

Az $\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}$ összefüggés miatt $\displaystyle AED\sphericalangle=\alpha$ és így $\displaystyle DAE\sphericalangle=\beta$.

Az $\displaystyle EMC$ és $\displaystyle AED$ derékszögű háromszögek megfelelő szögei egyenlők, ez a két háromszög tehát hasonló, ezért a két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik. Eszerint: $\displaystyle \displaystyle{\frac{CM}{CE}=\frac{ED}{AD}}$, azaz $\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{\frac{a}{2}}=\frac{\frac{a}{2}}{a}}$.

Ebből a műveletek elvégzése és egyszerűsítés után adódik, hogy

$\displaystyle \displaystyle{x=\frac{a}{4}},$

vagyis az $\displaystyle M$ pont a $\displaystyle BC$ szakasz $\displaystyle C$-hez legközelebbi negyedelőpontja, tehát

$\displaystyle \displaystyle{\frac{CM}{BM}=\frac{1}{3}}.$

Statisztika:

92 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	54 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai