Problem K/C. 772. (May 2023)
K/C. 772. How many four-digit natural numbers are there in decimal notation in which the first three digits (from the left) are different, all four digits are prime numbers, but the four-digit number is not divisible by any of its digits?
Proposed by B. Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on June 12, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A feltételek alapján a négyjegyű szám számjegyei \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\) lehetnek.
A négyjegyű szám utolsó számjegye nem lehet sem 2, sem 5, mert akkor a szám osztható lenne 2-vel, illetve 5-tel, és ez ellenkezne a feladat feltételével. Ebből az következik, hogy az utolsó számjegy csak 3 vagy 7 lehet.
Mivel az első három számjegy különböző, ezért ezek csak a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 7\), a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\) vagy a \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\) számhármasok közül kerülhetnek ki.
Tegyük fel most, hogy az utolsó számjegy a 3-as.
Ekkor a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 3\) és a \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 3\) számnégyesek semmilyen sorrendben nem felelnek meg a feltételeknek, mert az ezekből a jegyekből képzett négyjegyű számokban a számjegyek összege osztható 3-mal, ezért az ilyen négyjegyű számok maguk is oszthatók 3-mal.
Tekintsük tehát a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 3\) számnégyeseket.
Ezekből a feladat minden feltételét kielégítő módon összesen 12 darab olyan, 3-ra végződő négyjegyű szám képezhető, amelyek 7-tel sem oszthatók:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 2353;\quad 2533;\quad 3253;\quad 3523;\quad 5233;\quad 5323;\quad 2573;\quad 2753;\quad 5273;\quad 5723;\quad 7253;\quad 7523.\) |
Ha az utolsó számjegy a 7-es, akkor a \(\displaystyle 2,5,7,7\) számnégyes összes sorrendjének megfelelő számot meg kell vizsgálnunk, mert ezek mind oszthatók 3-mal, de mivel a 3-as nem szerepel a számjegyek között, ezért a 3-mal való oszthatóság nem lehet kizáró ok.
Számolással ellenőrizhetjük, hogy a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 7\) számnégyesből képzett 6 darab, 7-re végződő négyjegyű számból mindegyik eleget tesz a feltételnek, mert összetett számok, de nem oszthatók sem 2-vel, sem 5-tel, sem 7-tel.
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 2577;\quad 2757;\quad 5277;\quad 5727;\quad 7257\quad 7527.\) |
Vizsgáljuk a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 7\) és \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 7\) számnégyeseket. Más számnégyest nem kell vizsgálni a 7-re végződő esetben, hiszen az első három számjegy különböző kell legyen.
Ezekből a számnégyesekből összesen 18 darab 7-re végződő négyjegyű szám képezhető:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle 2357,\quad 2537,\quad 3257,\quad 3527,\quad 5237,\quad 5327;\) |
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle 2377,\quad 2737,\quad 3277,\quad 3727,\quad 7237,\quad 7327;\) |
valamint
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle 3577,\quad 3757,\quad 5377,\quad 5737,\quad 7357,\quad 7537.\) |
A (3)-(4)-(5)-ben szereplő számok közül négy nem felel meg a feltételnek, mert
\(\displaystyle 5327=7\cdot 761,\quad 2737=7\cdot 391,\quad 3577=7\cdot 511,\quad 7357=7\cdot 1051.\)
A feltételeknek megfelelő 3-ra végződő négyjegyűek száma tehát 12, míg a 7-re végződőek száma 20, ezért összesen 32 megfelelő tízes számrendszerbeli négyjegyű szám létezik.
Megjegyzések. 1) Egyszerű számolással ellenőrizhető a feladat azon érdekessége, hogy a feltételeknek megfelelő 32 darab négyjegyű szám között pontosan 16 prímszám van.
2) Az (1)-ben szereplő, 7-es számjegyet nem tartalmazó számok esetében a feladat feltétele megengedné, hogy oszthatók legyenek 7-tel, de számolással könnyen ellenőrizhető, hogy a 7 nem osztója egyiknek sem.
Statistics:
97 students sent a solution. 5 points: Blaskovics Ádám, Csikai Anna Alida, Csiszár András, Derűs Ádám , Détári Szabolcs, Domján István, Duzmath Izabella, Fülöp Máté, Gyenes Károly, Horváth Imre, Illés Dóra, Iván Máté Domonkos, Juhász Noel, Juhos Bálint András, Jurácsik Marcell, Jurányi Benedek, Kerekes András, Király Áron, Klement Tamás, Kocsmár Ákos, Kókai Ákos, Kővágó Edit Gréta, Lestár Sarolta, Libor Andrea, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Mikó Hédi Irma, Monoczki Máté, Móricz Zsombor, Nagypál Katóca, Németh Hanna Júlia , Pánovics Máté, Polyányi Lora Molli, Pulka Gergely Tamás, Puskás Péter, Sütő Áron, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Szabó Dániel György, Szabó Donát, Szamkó Hanna, Tajta Sára, Ujpál Bálint, Vida Benjámin, Volford Barnabás, Wodala Gréta Klára. 4 points: 25 students. 3 points: 11 students. 2 points: 4 students. 1 point: 3 students. 0 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2023