A K/C. 782. feladat (2023. október)

K/C. 782. Archibald rosszul emlékezett a törtek összeadásának szabályára, és így adta össze az \(\displaystyle \frac ab\) és \(\displaystyle \frac cd\) törteket: \(\displaystyle \frac ab + \frac cd = \frac{a+c}{b+d}\). Lehetséges-e, hogy helyes végeredményt kapott, ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) pozitív számok?

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.

Első megoldás. Ha egy pozitív tört számlálóját nem változtatjuk, és a nevezőjét csökkentjük, akkor a tört értéke nő.

\(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b+d}+\frac{c}{b+d}<\frac ab + \frac cd\), tehát nem lehet egyenlő a két kifejezés értéke, azaz ez a rossz összeadás valóban rossz, és nincs olyan két pozitív tört, amit lehetne így összeadni.

Második megoldás. Tegyük fel, hogy van olyan pozitív a, b, c, d, melyekre az egyenlőség fennáll. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (b+d)bd-vel!

\(\displaystyle \frac ab + \frac cd=\frac{a+c}{b+d},\)

\(\displaystyle a(b+d)d+c(b+d)b=bd(a+c),\)

\(\displaystyle abd+ad^2+cb^2+cbd=abd+bcd,\)

\(\displaystyle ad^2+cb^2=0.\)

A kapott egyenlőség bal oldala pozitív, így \(\displaystyle 0\) nem lehet az értéke.

Ellentmondásra jutottunk, tehát beláttuk, hogy nincs két olyan pozitív törtszám, melyre helyes lenne ez az összeadási séma.

Statisztika:

250 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	111 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	24 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	65 dolgozat.

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai