 |
A K/C. 788. feladat (2023. november) |
K/C. 788. Egy sorozatban \(\displaystyle a_1=2\), \(\displaystyle a_{n+1} = a_n + 2n\). Határozzuk meg \(\displaystyle a_{100}\) értékét.
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás.
$$\begin{align*} a_{n+1} -a_{n} &= 2n,\\ a_{2} -a_{1} &= 2 \cdot 1,\\ a_{3} -a_{2} &= 2 \cdot 2,\\ \ldots{}\\ a_{100} -a_{99} &= 2 \cdot 99. \end{align*}$$Ezeket összeadva \(\displaystyle a_{100} -a_{99} + a_{99} -a_{98} + \ldots{} + a_{3} -a_{2} + a_{2} - a_{1} = 2 \cdot (99 + 98 + \ldots{} + 2 + 1)\), azaz \(\displaystyle a_{100} - a_{1} = 2 \cdot (1 + 99) : 2 \cdot 99 = 9900\). Tehát \(\displaystyle a_{100} = 9902\).
Statisztika:
229 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 104 versenyző. 4 pontot kapott: 28 versenyző. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 54 dolgozat.
A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai