A K/C. 798. feladat (2024. január)

K/C. 798. Kovácsék bejárati ajtaja \(\displaystyle 2\) méter magas és \(\displaystyle 1\) méter széles. Az ajtó fölött a padlótól számított \(\displaystyle 3\) méteres magasságban egy \(\displaystyle 1\) méterre kinyúló vízszintes, téglalap alakú előtető van, amely pont olyan széles, mint az ajtó. Ennek az előtetőnek az ajtótól távolabbi szélén középre rögzítettek egy minden irányba világító lámpát. Mekkora területű részt világít meg a padlón a lámpa az ajtónyíláson keresztül, ha az ajtót teljesen kinyitják? (Az előszoba, melybe az ajtó nyílik, elegendően széles és hosszú ahhoz, hogy az ajtónyílás képe teljes egészében a padlón legyen.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Oldalról nézve (az ajtó síkjára merőleges függőleges síkra vetítve) a következő (stilizált) rajzot kapjuk:

1. ábra

Ennek alapján a megvilágított rész \(\displaystyle 2\) méter hosszan nyúlik be az előszobába. Felülről nézve (az ajtó síkjára merőleges vízszintes síkra vetítve) az előtetőt, az ajtó síkját és a megvilágított részt a padlón, az alábbi stilizált ábrát készíthetjük:

2. ábra

Eszerint amennyit szélesedik a fénykúp \(\displaystyle 1\) méter magasságból érkezve az \(\displaystyle 1\) méter távolságban levő ajtóig, annak kétszeresét fogja szélesedni azalatt a \(\displaystyle 2\) méter alatt, amíg az ajtó tetejétől a padlóig ér.

Ezért a megvilágított rész egy olyan trapéz lesz, amelynek alapjai \(\displaystyle 1\) méter, illetve \(\displaystyle 3\) méter hosszúságúak, magassága pedig \(\displaystyle 2\) méter. Ennek a trapéznak a területe egyszerű számítással adódik, hogy \(\displaystyle 4\) négyzetméter.

Statisztika:

144 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	62 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	29 dolgozat.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai