A K/C. 807. feladat (2024. március)

K/C. 807. Hányféleképpen színezhetünk ki egy \(\displaystyle 3\times3\)-as rózsaszín táblán három mezőt zöldre, ha azokat a színezéseket nem tekintjük különbözőnek, amelyek tükrözéssel vagy elforgatással egymásba vihetőek?

Javasolta: Fried Katalin (Budapest), Korándi József (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az esetek szisztematikus összeszámlálásához azt az eljárást követjük, hogy föntről lefelé balról jobbra mindig a lehető legközelebbi helyzetű mezőt színezzük zöldre úgy, hogy a feltételek teljesüljenek.

Ha a három zöld mező szomszédos, az kétféle egymásba nem mozgatható pozícióban lehet: 1.  2. 

Ha a három zöld mező közül kettő szomszédos, akkor azok kétféle egymásba át nem mozgatható helyzetben lehetnek: a)  b) . Ehhez kell kiválaszani a harmadikat úgy, hogy ne legyen e kettő mellett.

Az első elrendezés esetén hatféle helyre tehetjük le a harmadik mezőt: 3.  4.  5.  6.  7.  8. , és szerencsénkre semelyik sem mozgatható át semelyik másikba.

A második esetben szintén hat lehetőség van a harmadik zöld mező helyére, de az is látszik, hogy ha a fölső sorba helyezzük el a harmadik zöld mezőt, akkor egy ezzel türkös helyzetűt kapunk az alsó sorban elhelyezhető harmadik mezők közül.

Azaz legfeljebb három különböző elrendezés lehet. Azonban ezek közül van egy, , amellyel egy tengelyesen szimmetrikus elrendezésűt már tekintetbe vettünk az előző elrendezéskor (4.), így csak két lehetőség marad: 9.  10. 

Végül olyan mezőket kell kiválasztanunk, amelyek közül semelyik kettő nincs szomszédos.

Ilyenek – ügyelve, hogy egymásba mozgathatókat ne válasszunk ki –: 11.  12.  13.  14. 

15.  16. 

Összesen 16 különböző (egymásba nem átmozgatható) elrendezést kaptunk.

Statisztika:

142 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Auer Sára, Barna 201 Krisztina, Beinschroth Máté, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Budai Máté, Csáki Anikó, Danka Emma, Derűs Ádám , Domján István, Farkas Noémi , Farkas Simon, Gáti Benjamin, Hetyei Dániel, Horváth Imre, Juhász Zsombor, Jurácsik Marcell, Kószó Ferenc, Kökény Kristóf, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Mikó Hédi Irma, Németh Ábel, Olajos Anna, Piller Zsófia, Rasztgyörgy Jázmin, Szabó 926 Bence, Szabó András, Szedmák Szabrina, Szörényi Zalán András , Tóth 207 Bence.
4 pontot kapott:	26 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	27 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	32 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai