A K. 211. feladat (2009. szeptember)

K. 211. Öt különböző nagyságú barackunk, és három különböző nagyságú almánk van. Két csomagot kell készítenünk belőlük úgy, hogy mindkét csomagban négy-négy gyümölcs legyen, melyek egyike alma. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? (Két csomagolás akkor különböző, ha nem ugyanúgy osztottuk szét a különböző fajtájú és méretű gyümölcsöket.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel mindkét csomagban van alma, ezért a barackokat mindig egy hármas és egy kettes csoportra kell osztani. Ha az egyik csomagot megcsináljuk, akkor a másikba a maradék kerül: hányféle képen választhatunk a gyümölcsökből, hogy legalább egy alma van benne? Az öt különböző barackból a hármas csoportot $\displaystyle \binom{5}{3}$-féle képen választhatunk – ekkor a maradék 1 gyümölcsöt az almák közül háromféle képen választhatjuk. Ezek szerint $\displaystyle 10\cdot 3=30$-féle képen választhatjuk két csoportra a 8 gyümölcsöt. Ugyanezt kapjuk, ha a 2 barack-2 alma csomagok számát számoljuk ki: $\displaystyle \binom{5}{2}\cdot \binom{3}{2}=10\cdot 3=30$. A csomagok sorrendje nem számít: 30 szétosztás lehetséges.

Statisztika:

262 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	116 versenyző.
5 pontot kapott:	32 versenyző.
4 pontot kapott:	32 versenyző.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	29 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai