 |
A K. 212. feladat (2009. szeptember) |
K. 212. Négy csapat körmérkőzéses labdarúgó-bajnokságon vett részt, minden csapat minden csapattal egyszer játszott. A mérkőzéseken a döntetlenért 1 pont, a győzelemért 3 pont, a vereségért 0 pont járt. A bajnokságot az Albatroszok nyerték, akik egyszer sem kaptak ki, a második helyezést a Betyárok szerezték meg, akik nem játszottak döntetlent, harmadikok pedig a Csíkos ördögök lettek, akik nem nyertek egy mérkőzést sem. Negyedik helyen a Dongók csapata végzett. (A csapatok sorrendjét pontszámegyenlőség esetén az egymás elleni eredmény dönti el, ha ez döntetlen, akkor holtversenyt hirdetnek.) Mutassuk meg, hogy a versenyben a megadott feltételek mellett a négy csapat összpontszáma különböző volt. Adjuk meg, hogy melyik mérkőzésen ki nyert, illetve melyiken volt döntetlen. Válaszunkat indokoljuk.
(6 pont)
A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha az Albatroszok nem vesztettek, akkor nyertek vagy döntetlent játszottak. Ugyanígy a Csíkos ördögök nem nyertek, tehát vesztettek vagy döntetlent játszottak. Ha nem lett volna döntetlen meccsük, akkor a Dongóknak sem, de ez nem lehet, mert egymás ellen valamelyiküknek nyerni kellett, vagy döntetlent kellett játszani, ami a feltevésünk szerint nem lehet. Tehát C játszott döntetlent, de biztos, hogy nem a Betyárokkal: tehát vagy A-val vagy D-vel. B nem veszthetett csak A-val szemben, különben C-nek legalább 4 pontja lenne, míg B-nek meg csak 3. A meccsek kimenetele a következők lehetnek (a nyertes betűjelével, döntetlen esetén mindkettővel):
|
1. eset az, amikor a “nem vesztett” kifejezésbe beleérthető, hogy csak nyert. A csapatok összpontszáma különböző volt akkor, ha a “nem vesztett” kifejezés alatt szigorúan azt értjük, hogy nyert és volt döntetlen játszmája is.
Statisztika:
260 dolgozat érkezett. 8 pontot kapott: Ványai István. 6 pontot kapott: 58 versenyző. 5 pontot kapott: 61 versenyző. 4 pontot kapott: 30 versenyző. 3 pontot kapott: 36 versenyző. 2 pontot kapott: 23 versenyző. 1 pontot kapott: 38 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai