A K. 254. feladat (2010. szeptember)

K. 254. Egy M számnak osztója a 14, a 15 és a 175. Nem osztója viszont a 28, a 45 és az 1225. Tudjuk még, hogy M osztója a 44 100-nak. Mi lehet az M?

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel \(\displaystyle 14=2\cdot 7\), \(\displaystyle 15=3\cdot 5\) és \(\displaystyle 175=5^2\cdot 7\), ezért \(\displaystyle M\), nek osztója ezek legkisebb közös többszöröse is, azaz \(\displaystyle 2\cdot 3\cdot5^2\cdot 7=1050\).

Másrészről nem osztója \(\displaystyle M\)-nek a \(\displaystyle 28\) (de \(\displaystyle 14\) igen), tehát \(\displaystyle M\) nem osztható 4-gyel. Ugyanígy nem osztó a \(\displaystyle 45\) (de a \(\displaystyle 15\) igen), tehát \(\displaystyle M\) nem osztható 9-cel, harmadrészt nem osztó az \(\displaystyle 1225=25\cdot 49\) (de a \(\displaystyle 175\) igen), tehát \(\displaystyle M\) nem osztható 49-cel.

Az \(\displaystyle M\) osztója \(\displaystyle 44100\)-nak, ezért \(\displaystyle 1050\) (ami az \(\displaystyle M\) osztója) is osztója \(\displaystyle 44100\)-nak: \(\displaystyle 44100=1050\cdot 42=1050\cdot 2\cdot 3\cdot 7\). Ha \(\displaystyle M\) nagyobb \(\displaystyle 1050\)-nél, akkor annak legalább kétszerese vagy háromszorosa vagy hétszerese (illetve ezek többszöröse). Ezek egyike sem fordulhat elő, mert akkor \(\displaystyle M\) osztható lenne rendre 4-gyel vagy 9-cel vagy 49-cel.

Tehát \(\displaystyle M\) osztható \(\displaystyle 1050\)-nel, de nem többszöröse, ezért \(\displaystyle {\mathbf M=1050}\).

Statisztika:

311 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	110 versenyző.
5 pontot kapott:	45 versenyző.
4 pontot kapott:	42 versenyző.
3 pontot kapott:	40 versenyző.
2 pontot kapott:	28 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.
Nem versenyszerű:	13 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai