A K. 258. feladat (2010. szeptember)

K. 258. Az egyszerűsíthető (pozitív értékű) törtben az x pozitív egész számot jelöl. Hányféle értéket vehet fel az x?

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle \frac{1000-x}{1001}$ tört pontosan akkor egyszerűsíthető, ha a számláló $\displaystyle 1000-x$-nek és a nevező $\displaystyle 1001$-nek van közös 1-nél nagyobb osztója. Mivel $\displaystyle 1001=7\cdot 11\cdot 13$, ezért az 1-nél nagyobb osztói a $\displaystyle 7$, $\displaystyle 11$, $\displaystyle 13$, $\displaystyle 77$, $\displaystyle 91$, $\displaystyle 143$ és $\displaystyle 1001$. Mivel $\displaystyle x$ pozitív, ezért $\displaystyle 1000-x$ kisebb $\displaystyle 1001$-nél, így az nem lehet az osztója.

Az 1000-nél kisebb 7-tel osztható pozitív számok száma (7-től 994-ig) $\displaystyle 994/7=142$.

Az 1000-nél kisebb 11-gyel osztható pozitív számok száma (11-től 990-ig) $\displaystyle 990/11=90$.

Az 1000-nél kisebb 13-mal osztható pozitív számok száma (13-tól 988-ig) $\displaystyle 988/13=76$.

Az 1000-nél kisebb 77-tel osztható pozitív számok száma (77-től 924-ig) $\displaystyle 924/77=12$.

Az 1000-nél kisebb 91-gyel osztható pozitív számok száma (91-től 910-ig) $\displaystyle 910/91=10$.

Az 1000-nél kisebb 143-mal osztható pozitív számok száma (143-tól 858-ig) $\displaystyle 858/143=6$.

Amikor összeszámoltuk a 7-tel vagy a 11-gyel osztható számok számát, akkor mindkét esetben találkoztunk olyanokkal, melyek mindkettővel oszthatóak, azaz 77-tel is. Ugyanezt elmondhatjuk a másik két esetben (7 és 13, ill. 11 és 13) is. Például $\displaystyle x=76$ esetében a $\displaystyle 924$-et a 7-tel osztható és a 11-gyel osztható számok között is megszámoltuk. Az olyan számok száma, melyek csak 7-tel oszthatóak, de 11-gyel nem $\displaystyle 142-12=130$. Olyan legfeljebb háromjegyű pozitív szám, mely 11-gyel osztható, de 7-tel nem $\displaystyle 90-12=78$ darab van. Ugyanilyen módon a többi párra is megállapításokat tehetünk.

Mivel $\displaystyle 7\cdot 11\cdot 13=1001>1000$, egyetlen olyan számunk sem volt, melynek mind a 7, mind a 11 és mind a 13 osztója lett volna egyszerre. Ezért a következő halmazábrát rajzolhatjuk le, mely a különböző halmazok elemszámát tartalmazza:

Az 1000-nél kisebb 1001 1-nél nagyobb osztóival osztható számok összes száma $\displaystyle 120+72+60+12+10+6=280$.

A halmazábra elkészítése nélkül az ún. logikai szitával kiszámolva (ennek volt képiesített ás illusztrált változata a fenti ábra) a megfelelő számok száma $\displaystyle 142+91+76-12-10-6+0=280$.

Statisztika:

288 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	146 versenyző.
5 pontot kapott:	13 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	64 versenyző.
0 pontot kapott:	23 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai