A K. 284. feladat (2011. február)

K. 284. Egy egységnyi befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszöget az átfogójára merőleges vágással egy deltoidra és egy háromszögre vágunk. Hány százaléka a deltoid területe az eredeti háromszög területének?

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A vágással egy 1, $\displaystyle x$, $\displaystyle x$, 1 oldalú deltoidra és egy $\displaystyle x$ befogójú, egyenlőszárú derékszögű háromszögre osztottuk az egységbefogójú háromszöget. A deltoidot egyik átlója két, egybevágó derékszögű háromszögre bontja, melynek befogói 1 és $\displaystyle x$. Ezért területe $\displaystyle t_d=2\cdot \frac {1\cdot x}2$, az eredeti háromszög területe $\displaystyle \frac 12$. Mivel az eredeti háromszög befogója $\displaystyle \sqrt 2$ , ami 1 és $\displaystyle x$ nagyságú részekre lett osztva, ezért $\displaystyle x=\sqrt 2 -1$. Ezért $\displaystyle t_d / t_h =2(\sqrt 2 -1)\approx 0,82843$. A deltoid területe az eredeti háromszög területének $\displaystyle 82,84\%$-a.

Statisztika:

153 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	92 versenyző.
5 pontot kapott:	30 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2011. februári matematika feladatai