 |
A K. 285. feladat (2011. február) |
K. 285. Az és az
hatjegyű számok aránya 55:54. Határozzuk meg az a, b, c számjegyek értékét.
(6 pont)
A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A feltétel szerint \(\displaystyle 54\cdot \overline{abcabc}=55\cdot \overline{ababab}\), azaz \(\displaystyle 54\cdot (100100a+10010b+1001c)=55\cdot (101010a+10101b)\). Mivel \(\displaystyle 54=2\cdot 3^3\), \(\displaystyle 55=5\cdot 11\), \(\displaystyle 1001=13\cdot 11\cdot 7\) és \(\displaystyle 10101=3\cdot 7\cdot 13 \cdot 37\), ezért 3003-mal osztva \(\displaystyle 18\cdot (100a+10b+1c)=5\cdot (370a+37b)\), azaz \(\displaystyle 18\overline{abc}=185\overline{ab}\). Mivel 185 és 18 relatív prímek ezért \(\displaystyle \overline{abc}=185k\) és \(\displaystyle \overline{ab}=18k\). \(\displaystyle k=1\) esetén \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle b=8\), \(\displaystyle c=5\) megoldás. Számolásunk szerint \(\displaystyle c\) csak 0 v. 5 lehet, de a feladat szerint \(\displaystyle a<c\), ezért \(\displaystyle a<c=5\) lehet csak. Így \(\displaystyle 59\ge 18k\) miatt \(\displaystyle k=3\) lehet még. Ekkor azonban \(\displaystyle a=b=c=5\) lenne, ami nem tesz eleget a feladat kívánalmainak.
Az eredeti számok a 185185 és 181818 voltak, azaz \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle b=8\), \(\displaystyle c=5\).
Statisztika:
A KöMaL 2011. februári matematika feladatai