A K. 329. feladat (2012. február)

K. 329. Tudjuk, hogy valamely pozitív x valós számra . Határozzuk meg x értékének kiszámítása nélkül értékét.

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk $\displaystyle \left( x + \frac {1}{x} \right)$ hatványait: $\displaystyle \left( x + \frac {1}{x} \right)^2=x^2 + \frac {1}{x^2} + 2 =7+2=9$, azaz ($\displaystyle x$ pozitív!) $\displaystyle x + \frac {1}{x}=3$. $\displaystyle \left( x + \frac {1}{x}\right)^5=x^5+5x^3+10x+\frac{10}x +\frac{5}{x^3}+\frac{1}{x^5}$, illetve $\displaystyle \left( x + \frac {1}{x} \right)^3=x^3+3x+\frac{3}{x} +\frac{1}{x^3}$. A harmadik hatványban felhasználva korábbi eredményünket $\displaystyle 3^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3\cdot 3$, ahonnan $\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=27-9=18$. Ezt felhasználva nézzük az ötödik hatványt: $\displaystyle 3^5=x^5+\frac{1}{x^5}+5\cdot 18 +10 \cdot 3$, azaz $\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}=243-90-30=123$.

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	67 versenyző.
5 pontot kapott:	27 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai