Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 329. feladat (2012. február)

K. 329. Tudjuk, hogy valamely pozitív x valós számra x^2+\frac{1}{x^2}=7. Határozzuk meg x értékének kiszámítása nélkül x^5+\frac{1}{x^5} értékét.

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk \(\displaystyle \left( x + \frac {1}{x} \right)\) hatványait: \(\displaystyle \left( x + \frac {1}{x} \right)^2=x^2 + \frac {1}{x^2} + 2 =7+2=9\), azaz (\(\displaystyle x\) pozitív!) \(\displaystyle x + \frac {1}{x}=3\). \(\displaystyle \left( x + \frac {1}{x}\right)^5=x^5+5x^3+10x+\frac{10}x +\frac{5}{x^3}+\frac{1}{x^5}\), illetve \(\displaystyle \left( x + \frac {1}{x} \right)^3=x^3+3x+\frac{3}{x} +\frac{1}{x^3}\). A harmadik hatványban felhasználva korábbi eredményünket \(\displaystyle 3^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3\cdot 3\), ahonnan \(\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=27-9=18\). Ezt felhasználva nézzük az ötödik hatványt: \(\displaystyle 3^5=x^5+\frac{1}{x^5}+5\cdot 18 +10 \cdot 3\), azaz \(\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}=243-90-30=123\).

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:67 versenyző.
5 pontot kapott:27 versenyző.
4 pontot kapott:1 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:13 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai