Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 337. feladat (2012. szeptember)

K. 337. Hány darab 45-tel osztható \overline{abcba} alakú ötjegyű szám van, ahol a, b és c különböző számjegyeket jelöl?

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. 45-tel pontosan akkor osztható egy szám, ha 9-cel és 5-tel osztható. 5-tel pontosan akkor osztható egy szám, ha 5-re vagy 0-ra végződik. Mivel a\neq0, így a=5. Az eredeti számunk osztható 9-cel, így számjegyeinek összege, 10+2b+c is osztható 9-cel. Mivel 2b+c legnagyobb értéke 27, ezért 10+2b+c lehetséges értékei 18, 27, 36.

I. eset: Ha 2b+c=8, akkor a lehetséges számjegyek:

b 4 3 2 1 0
c 0 2 4 6 8

II. eset: Ha 2b+c=17, akkor a lehetséges számjegyek:

b 8 7 6 5 4
c 1 3 5 7 9

Itt a 6, 5 és 5, 7 párok nem megfelelőek, mert nem lenne minden számjegy különböző.

III. eset: Ha 2b+c=26, akkor a lehetséges számjegyek:

b 9
c 8

Tehát 9 megfelelő ötjegyű szám van.

Statisztika:

261 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:108 versenyző.
5 pontot kapott:43 versenyző.
4 pontot kapott:45 versenyző.
3 pontot kapott:25 versenyző.
2 pontot kapott:18 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai