A K. 369. feladat (2013. február)

K. 369. Egy üzleti összejövetel elején mindenki mindenkivel névjegyet cserélt. György úr később csatlakozott a társasághoz. Mivel a megjelentek között volt olyan, akit ismert, ezért ő csak azoknak adott névjegyet, akiket nem ismert, viszont ő névjegyet már nem kapott senkitől sem. Így a gazdát cserélt névjegyek száma 12,5%-kal nőtt a György úr érkezése előtti állapothoz képest. Hány fős lett a társaság György úr érkezése után?

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle n+1\) résztvevős volt az összejövetel, akkor György úr érkezése előtt \(\displaystyle n(n–1)\) névjegy cserélt gazdát. Ez 12,5%-kal, azaz a 8-adával nőtt, ezért a szorzat osztható kell, hogy legyen 8-cal. Másrészt, mivel volt, akit ismert György úr, ezért az \(\displaystyle n(n–1)\) nyolcada kisebb, mint az összes résztvevő száma, tehát \(\displaystyle \frac{n(n-1)}{8}<n\), azaz \(\displaystyle n < 9\). Mivel \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n–1\) közül csak az egyik páros, a szorzat csak akkor osztható 8-cal, ha valamelyik tényezője osztható 8-cal. Tekintettel arra, hogy \(\displaystyle n < 9\), csak az \(\displaystyle n = 8\) eset jöhet szóba. Ellenőrizhető, hogy ekkor György úr 1 embert ismert, és ő volt a 9. a társaságban.

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	51 versenyző.
5 pontot kapott:	11 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai