 |
A K. 479. feladat (2015. november) |
K. 479. Az \(\displaystyle \big({(-a^{-b})}^{-c}\big)^{-d}\) kifejezésben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) helyére az 1, 2, 3, 4 számokat írva melyik esetben lesz a kifejezés értéke minimális, melyik esetben maximális?
(6 pont)
A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle -a^{-b}=-1\cdot a^{-b}\),
\(\displaystyle (–a^{–b})^{–c}=(-1\cdot a^{-b})^{-c}=(-1)^{-c}\cdot a^{bc}\),
\(\displaystyle ((–a^{–b})^{–c})^{–d} =((-1)^{-c}\cdot a^{bc})^{-d}=(-1)^{cd}\cdot a^{-bcd}=\frac{(-1)^{cd}}{a^{bcd}}\).
A minimális értéket akkor kapjuk, ha a számlálóban \(\displaystyle -1\) áll, vagyis \(\displaystyle cd\) értéke páratlan: \(\displaystyle c=1\), \(\displaystyle d=3\) vagy fordítva. \(\displaystyle cd\) értéke mindkét esetben 3. Ekkor \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=4\) vagy fordítva. Mivel \(\displaystyle 2^4=4^2\), ezért a tört értéke mind a négy esetben \(\displaystyle \frac{-1}{16^3}=\frac{-1}{4096}\).
A tört értéke a következő esetekben lesz minimális:
|
A maximális értéket akkor kapjuk, ha \(\displaystyle cd\) páros. Ekkor \(\displaystyle a>1\) esetén a tört kisebb lesz 1-nél, \(\displaystyle a=1\) esetén pedig 1 lesz az értéke. Mivel \(\displaystyle a=1\) esetén már csak egy páratlan szám maradt, így \(\displaystyle cd\) biztosan páros, ezért a tört abban a hat esetben veszi fel a maximális értéket, ha \(\displaystyle a\) páros.
Statisztika:
124 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Debreczeni Tibor, Földvári Ádám, Gilicze Márton, Hoffmann Balázs, Keltai Dóra, Kiss 468 Péter, Kluèka Vivien, Kovács 576 Kristóf, Mester Gyöngyvér, Pálvölgyi Szilveszter, Pinke Jakab Zoltán, Póta Balázs, Simon Dóra, Wirker Bálint. 5 pontot kapott: 44 versenyző. 4 pontot kapott: 19 versenyző. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 13 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2015. novemberi matematika feladatai