A K. 562. feladat (2017. november)

K. 562. Alíz elindult vásárolni, csupa 10 és 1000 forintossal (mindegyikből volt nála legalább egy). Elköltötte a pénze felét, majd észrevette, hogy ismét csupa 10 és 1000 forintos van nála. Megszámolta a pénzt, és látta, hogy pont annyi 10 forintosa lett, mint ahány 1000 forintossal elindult, és pontosan feleannyi 1000 forintosa lett, mint amennyi 10 forintossal elindult. Hány forintot költött el Alíz, ha a feltételeknek megfelelő lehető legkevesebb pénzt költötte?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje $\displaystyle x$ a $\displaystyle 10$ forintosok kezdeti számát, $\displaystyle y$ pedig az $\displaystyle 1000$ forintosokét. Alíznak így a végén $\displaystyle y$ db $\displaystyle 10$ forintosa, és $\displaystyle \frac x2$ db $\displaystyle 1000$ forintosa volt. A pénze megfeleződött, tehát $\displaystyle (10x+1000y)\cdot\frac12=10y+1000\cdot\frac x2$. Az egyenletet rendezve a $\displaystyle 98y=99x$ összefüggést kapjuk. Mivel $\displaystyle 98$ és $\displaystyle 99$ relatív prímek, ezért $\displaystyle x$ osztható $\displaystyle 98$-cal, $\displaystyle y$ pedig $\displaystyle 99$-cel, a lehető legkisebb pozitív $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ tehát $\displaystyle x = 98$, $\displaystyle y = 99$. Alíz tehát $\displaystyle 10\cdot98+1000\cdot99=99\,980$ Ft-tal indult el vásárolni, és $\displaystyle 49\,990$ Ft-tal ($\displaystyle 49$ db $\displaystyle 1000$-es és $\displaystyle 99$ db $\displaystyle 10$-es) végzett, ami valóban az eredeti összeg fele. Tehát Alíz $\displaystyle 49\,990$ Ft-ot költött el.

Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	84 versenyző.
5 pontot kapott:	5 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai