A K. 562. feladat (2017. november)

K. 562. Alíz elindult vásárolni, csupa 10 és 1000 forintossal (mindegyikből volt nála legalább egy). Elköltötte a pénze felét, majd észrevette, hogy ismét csupa 10 és 1000 forintos van nála. Megszámolta a pénzt, és látta, hogy pont annyi 10 forintosa lett, mint ahány 1000 forintossal elindult, és pontosan feleannyi 1000 forintosa lett, mint amennyi 10 forintossal elindult. Hány forintot költött el Alíz, ha a feltételeknek megfelelő lehető legkevesebb pénzt költötte?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle x\) a \(\displaystyle 10\) forintosok kezdeti számát, \(\displaystyle y\) pedig az \(\displaystyle 1000\) forintosokét. Alíznak így a végén \(\displaystyle y\) db \(\displaystyle 10\) forintosa, és \(\displaystyle \frac x2\) db \(\displaystyle 1000\) forintosa volt. A pénze megfeleződött, tehát \(\displaystyle (10x+1000y)\cdot\frac12=10y+1000\cdot\frac x2\). Az egyenletet rendezve a \(\displaystyle 98y=99x\) összefüggést kapjuk. Mivel \(\displaystyle 98\) és \(\displaystyle 99\) relatív prímek, ezért \(\displaystyle x\) osztható \(\displaystyle 98\)-cal, \(\displaystyle y\) pedig \(\displaystyle 99\)-cel, a lehető legkisebb pozitív \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) tehát \(\displaystyle x = 98\), \(\displaystyle y = 99\). Alíz tehát \(\displaystyle 10\cdot98+1000\cdot99=99\,980\) Ft-tal indult el vásárolni, és \(\displaystyle 49\,990\) Ft-tal (\(\displaystyle 49\) db \(\displaystyle 1000\)-es és \(\displaystyle 99\) db \(\displaystyle 10\)-es) végzett, ami valóban az eredeti összeg fele. Tehát Alíz \(\displaystyle 49\,990\) Ft-ot költött el.

Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	84 versenyző.
5 pontot kapott:	5 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai