Problem K. 599. (November 2018)

K. 599. Write the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 in the circles, so that the sum of the four numbers along any straight line should be the same, and the sum of the numbers at the six points of the star should also be the same number. A few numbers are already entered. Find all possible arrangements.

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha összeadjuk az összes vonalon lévő számokat, akkor a keresett összeg \(\displaystyle 6\)-szorosát kapjuk, és minden körben lévő számot kétszer számoltunk. Tehát az egy-egy vonalon álló négy szám összege \(\displaystyle \frac{1+2+3+... +12}{3}\). A \(\displaystyle 12\) és a \(\displaystyle 9\) mellé összesen \(\displaystyle 5\) kerül, ez csak \(\displaystyle 2+3\) formában tehető meg. A \(\displaystyle 7\) és \(\displaystyle 4\) mellé összesen \(\displaystyle 15\) kerül. A \(\displaystyle 3+12\), \(\displaystyle 4+11\), \(\displaystyle 6+9\), \(\displaystyle 7+8\) összegek egyik tagja már foglalt, így csak \(\displaystyle 5+10\) kerülhet a \(\displaystyle 7\) és \(\displaystyle 4\) mellé. Ha a \(\displaystyle 10\) a külső csúcsba kerülne, akkor a csúcsokba eddig biztosan bekerülő számok összege \(\displaystyle 7+10+3+2=22\) lenne, azonban ehhez már \(\displaystyle 4\)-et csak \(\displaystyle 1+3\) formában tudnánk adni, azonban a \(\displaystyle 3\) más foglalt. Tehát az \(\displaystyle 5\) kerül a hatszög külső csúcsába. Hasonlóan a \(\displaystyle 7+12\) mellé összesen \(\displaystyle 7\)-et kell írnunk, ez már csak \(\displaystyle 6+1\) formában lehetséges. Ha a \(\displaystyle 6\) kerülne a külső csúcsba, akkor a csúcsokban álló számok összege \(\displaystyle 7+6+2+3+5=23\) lenne, amihez \(\displaystyle 3\) kéne, de ez nem lehetséges. Így az \(\displaystyle 1\) kerül a külső körbe. Tehát most itt tartunk (a \(\displaystyle 2\) és a \(\displaystyle 3\) helyzete még nem dőlt el):

A külső csúcsokban az eddig szerepelő számok összege \(\displaystyle 7+2+1+3+5=18\), tehát a hiányzó szám a \(\displaystyle 8\). A \(\displaystyle 8+6+10=24\), tehát melléjük kerül a \(\displaystyle 2\), így a \(\displaystyle 3\) helyzete is megvan, az utolsó körbe pedig az eddig fel nem használt \(\displaystyle 11\) kerül.

Statistics:

116 students sent a solution.
6 points:	Ágoston Schneider, Antal Botond, Bányai Kristóf, Barát Benedek, Cserkuti Sándor, Csoma Petra, Csuvár Ákos, Egyházi Hanna, Flódung Áron , Fonyódi Sára, Hamar János, Hamvas Johanna Kata, Hoffmann Szabolcs, Kalocsai Zoltán, Lajtos Enikő, Lévay Anna, Lukács Milán, Malatinszki Hanna, Márky Anna, Mátéfy Ádám , Metzger Ábris András, Miklóssy Katinka, Mócsy Mátyás, Mohay Lili Veronika, Németh László Csaba, Osváth Klára, Rács Zsóka, Riba Dániel, Ryan Voecks, Sámuel Laura , Sebestyén Pál Botond, Sipos Teodor, Solymosi Lili, Somogyi Dalma, Szabó 222 Benedek, Szatmáry Sára, Szépvölgyi Gergely, Szirmai Dénes, Tarján Teréz, Toronyi András, Varga 928 Péter, Xu Yiling.
5 points:	16 students.
4 points:	8 students.
3 points:	10 students.
2 points:	16 students.
1 point:	11 students.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2018