Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 600. feladat (2018. november)

K. 600. Egy háromjegyű szám valamelyik számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk, ennek a számnak valamelyik számjegyét elhagyva pedig egy egyjegyű számot. Melyik lehet ez a háromjegyű szám, ha a háromjegyű, a kétjegyű és az egyjegyű számok összege 1001?

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Egy kétjegyű és egy egyjegyű szám összege legfeljebb \(\displaystyle 108\) lehet, így egy háromjegyű, egy kétjegyű és egy egyjegyű szám összege csak úgy lehet \(\displaystyle 1001\), ha a háromjegyű szám legalább \(\displaystyle 893\). Ha a háromjegyű szám kisebb, mint \(\displaystyle 900\), akkor muszáj az első számjegyét elhagyni, azaz a \(\displaystyle 8\)-at, különben az összeg \(\displaystyle 1001\)-nél kisebb lesz.

Ekkor \(\displaystyle \overline{9c}\) a kétjegyű számunk.

Ha másodjára az utolsó számjegyet hagyjuk el, akkor \(\displaystyle \overline {89c} + {\overline {9c}} +9=1001\), ahonnan \(\displaystyle c=6\). A háromjegyű szám a \(\displaystyle 896\). (Ellenőrzés: \(\displaystyle 896+96+9=1001\).)

Ha másodjára a \(\displaystyle 9\)-est hagyjuk el, akkor \(\displaystyle \overline {89c} + {\overline {9c}} +c=1001\), ahonnan \(\displaystyle c=7\). A háromjegyű szám a \(\displaystyle 897\). (Ellenőrzés: \(\displaystyle 897+97+7=1001\).)

Ha a háromjegyű szám legalább \(\displaystyle 900\), akkor hat eset van (az első elhagyott számjegy háromféle, a második kétféle lehet):
\(\displaystyle \overline {9bc} + {\overline {9c}} +9=1001\), ahonnan \(\displaystyle 999+ {\overline { bc}} +c=1001\), ahonnan \(\displaystyle c=1\), a háromjegyű szám a \(\displaystyle 901\). (\(\displaystyle 901+91+9=1001\).)
\(\displaystyle \overline {9bc} + {\overline {9c}} +c=1001\), ahonnan \(\displaystyle 990+ {\overline { bc}} +3c=1001\), ahonnan \(\displaystyle \overline { bc} +3c=11\), melyből nem adódik egész megoldás.
\(\displaystyle \overline {9bc} + {\overline {9b}} +9=1001\), ahonnan \(\displaystyle 999+ {\overline { bc}} +b=1001\), ahonnan \(\displaystyle b=0\), \(\displaystyle c=2\) adódik. A háromjegyű szám a \(\displaystyle 902\). (\(\displaystyle 902+90+9=1001\).)
\(\displaystyle \overline {9bc} + {\overline {9b}} +b=1001\), ahonnan \(\displaystyle 990+ {\overline { bc}} +b=1001\), melyből \(\displaystyle \overline { bc} +2b=11\), melyből nem adódik egész megoldás.
\(\displaystyle \overline {9bc} + {\overline { bc}} +b=1001\), ahonnan \(\displaystyle 900+2 \cdot {\overline {bc}} +b=1001\), melyből \(\displaystyle 21b+2c=101\), melyből nem adódik egész megoldás.
\(\displaystyle \overline {9bc} + {\overline { bc}} +c=1001\), ahonnan \(\displaystyle 900+2 \cdot {\overline { bc}} +c=1001\), melyből \(\displaystyle 20b+3c=101\), melyből \(\displaystyle b=4\), \(\displaystyle c=7\) adódik. A háromjegyű szám a \(\displaystyle 947\). (\(\displaystyle 947+47+7=1001\).)

Tehát a megfelelő háromjegyű számok: \(\displaystyle 896\), \(\displaystyle 897\), \(\displaystyle 901\), \(\displaystyle 902\), \(\displaystyle 947\).


Statisztika:

A K. 600. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai