Problem K. 600. (November 2018)

K. 600. If one digit of a three-digit number is omitted, a two-digit number will be obtained. By omitting one digit of that two-digit number, a one-digit number will result. What may be the initial three-digit number so that the sum of the three-digit number, the two-digit number and the final one-digit number is 1001?

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy kétjegyű és egy egyjegyű szám összege legfeljebb \(\displaystyle 108\) lehet, így egy háromjegyű, egy kétjegyű és egy egyjegyű szám összege csak úgy lehet \(\displaystyle 1001\), ha a háromjegyű szám legalább \(\displaystyle 893\). Ha a háromjegyű szám kisebb, mint \(\displaystyle 900\), akkor muszáj az első számjegyét elhagyni, azaz a \(\displaystyle 8\)-at, különben az összeg \(\displaystyle 1001\)-nél kisebb lesz.

Ekkor \(\displaystyle \overline{9c}\) a kétjegyű számunk.

Ha másodjára az utolsó számjegyet hagyjuk el, akkor \(\displaystyle \overline {89c} + {\overline {9c}} +9=1001\), ahonnan \(\displaystyle c=6\). A háromjegyű szám a \(\displaystyle 896\). (Ellenőrzés: \(\displaystyle 896+96+9=1001\).)

Ha másodjára a \(\displaystyle 9\)-est hagyjuk el, akkor \(\displaystyle \overline {89c} + {\overline {9c}} +c=1001\), ahonnan \(\displaystyle c=7\). A háromjegyű szám a \(\displaystyle 897\). (Ellenőrzés: \(\displaystyle 897+97+7=1001\).)

Ha a háromjegyű szám legalább \(\displaystyle 900\), akkor hat eset van (az első elhagyott számjegy háromféle, a második kétféle lehet):
\(\displaystyle \overline {9bc} + {\overline {9c}} +9=1001\), ahonnan \(\displaystyle 999+ {\overline { bc}} +c=1001\), ahonnan \(\displaystyle c=1\), a háromjegyű szám a \(\displaystyle 901\). (\(\displaystyle 901+91+9=1001\).)
\(\displaystyle \overline {9bc} + {\overline {9c}} +c=1001\), ahonnan \(\displaystyle 990+ {\overline { bc}} +3c=1001\), ahonnan \(\displaystyle \overline { bc} +3c=11\), melyből nem adódik egész megoldás.
\(\displaystyle \overline {9bc} + {\overline {9b}} +9=1001\), ahonnan \(\displaystyle 999+ {\overline { bc}} +b=1001\), ahonnan \(\displaystyle b=0\), \(\displaystyle c=2\) adódik. A háromjegyű szám a \(\displaystyle 902\). (\(\displaystyle 902+90+9=1001\).)
\(\displaystyle \overline {9bc} + {\overline {9b}} +b=1001\), ahonnan \(\displaystyle 990+ {\overline { bc}} +b=1001\), melyből \(\displaystyle \overline { bc} +2b=11\), melyből nem adódik egész megoldás.
\(\displaystyle \overline {9bc} + {\overline { bc}} +b=1001\), ahonnan \(\displaystyle 900+2 \cdot {\overline {bc}} +b=1001\), melyből \(\displaystyle 21b+2c=101\), melyből nem adódik egész megoldás.
\(\displaystyle \overline {9bc} + {\overline { bc}} +c=1001\), ahonnan \(\displaystyle 900+2 \cdot {\overline { bc}} +c=1001\), melyből \(\displaystyle 20b+3c=101\), melyből \(\displaystyle b=4\), \(\displaystyle c=7\) adódik. A háromjegyű szám a \(\displaystyle 947\). (\(\displaystyle 947+47+7=1001\).)

Tehát a megfelelő háromjegyű számok: \(\displaystyle 896\), \(\displaystyle 897\), \(\displaystyle 901\), \(\displaystyle 902\), \(\displaystyle 947\).

Statistics:

174 students sent a solution.
6 points:	Bányai Kristóf, Cserkuti Sándor, Dankó Orsolya, Duska Máté, Egyházi Hanna, Flódung Áron , Hamar János, Hoffmann Szabolcs, Kalocsai Zoltán, Kovács Brúnó Aurél, Lévay Anna, Malatinszki Hanna, Márky Anna, Marsalkó Petra, Mátéfy Ádám , Mócsy Mátyás, Mohay Lili Veronika, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Pilz Olivér, Riba Dániel, Ryan Voecks, Sárvári Borka Luca, Sebestyén Pál Botond, Solymosi Lili, Somogyi Dalma, Szabó09 Zsuzsanna, Szépvölgyi Gergely, Szigeti Lili Anna, Szirmai Dénes, Tarján Teréz, Toronyi András, Tóth 001 Gergő, Varga 601 Zalán.
5 points:	19 students.
4 points:	7 students.
3 points:	10 students.
2 points:	22 students.
1 point:	55 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	19 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2018