Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 620. feladat (2019. március)

K. 620. Öt pozitív egész szám összege 20. Az öt szám páronként vett különbségeinek abszolút értéke: 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10. Adjuk meg az összes ilyen számötöst.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Mivel a különbségek között a \(\displaystyle 0\) nem szerepel, így öt különböző számot keresünk. A legnagyobb és a legkisebb szám különbsége \(\displaystyle 10\). A másik három közöttük lévő szám olyan, hogy a legkisebb és a legnagyobb számtól vett különbségeik összege \(\displaystyle 10\). Ezek a különbségpárok csak az \(\displaystyle 1-9\), \(\displaystyle 3-7\), és \(\displaystyle 4-6\) lehetnek (valamilyen sorrendben). Mivel a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\) különbségek maradtak ki, így a három középső szám párosával vett különbsége \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\). Közülük a két szélső különbsége csak az \(\displaystyle 5\) lehet, és a harmadik szám vagy \(\displaystyle 2\)-vel, vagy \(\displaystyle 3\)-mal nagyobb a másodiknál.

Legyen \(\displaystyle x\) a második legkisebb szám. Ekkor a rákövetkezők \(\displaystyle x+2\) és \(\displaystyle x+5\), vagy \(\displaystyle x+3\) és \(\displaystyle x+5\) lehetnek.

Mivel a különbségek között szerepel az \(\displaystyle 1\), így az már csak vagy a két legkisebb, vagy a két legnagyobb szám különbsége lehet.

Négy eset van:

(1) \(\displaystyle x-1\), \(\displaystyle x\), \(\displaystyle x+2\), \(\displaystyle x+5\), \(\displaystyle x+9\), ahonnan \(\displaystyle (x-1)+x+(x+2)+(x+5)+(x+9)=20\), az egyenletet megoldva \(\displaystyle x=1\), az öt szám pedig \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 10\). Azonban nem mind az öt pozitív.

(2) \(\displaystyle x-4\), \(\displaystyle x\), \(\displaystyle x+2\), \(\displaystyle x+5\), \(\displaystyle x+6\), de ez nem felel meg, mert a \(\displaystyle 4\)-es különbség kétszer is előfordul (\(\displaystyle x-(x-4) = (x+6)-(x+2)=4\)).

(3) \(\displaystyle x-1\), \(\displaystyle x\), \(\displaystyle x+3\), \(\displaystyle x+5\), \(\displaystyle x+9\), de ez sem felel meg, mert a \(\displaystyle 4\)-es különbség kétszer is előfordul (\(\displaystyle (x+3)-(x-1) = (x+6)-(x+2)=4\)).

(4) \(\displaystyle x-4\), \(\displaystyle x\), \(\displaystyle x+3\), \(\displaystyle x+5\), \(\displaystyle x+6\), ahonnan \(\displaystyle (x-4)+x+(x+3)+(x+5)+(x+6)=20\), az egyenletet megoldva \(\displaystyle x=2\), az öt szám pedig \(\displaystyle -2\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 8\). Azonban nem mind az öt pozitív.

Tehát nincs megfelelő számötös.


Statisztika:

A K. 620. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai