Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 630. feladat (2019. október)

K. 630. Egy parti végén, mikor már mindenki indul hazafelé, a nők a nőkkel, a férfiak a férfiakkal kezet fognak. A búcsúzkodás közben betoppan a házigazda egyik barátja, aki mindazokkal kezet fog (férfiakkal és nőkkel is), akiket ismer. Összesen 83 kézfogás történt. Tudjuk, hogy a partin résztvevő férfiak közül 5-nek ott volt a felesége is. Hány embert ismerhet a házigazda betoppanó barátja?

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Az alábbi táblázatban összefoglaljuk egy adott társaságban lezajló kézfogások számát (ahol mindenki mindenkivel pontosan egyszer fog kezet) a társaság létszámának függvényében. Mivel 5 házaspár ott volt a partin, ezért legalább 5 férfi és 5 nő is volt a résztvevők között.

Létszám Kézfogások száma Létszám Kézfogások száma
5 10 10 45
6 15 11 55
7 21 12 66
8 28 13 78
9 36 14 91

A táblázat alapján látható, hogy sem a férfiak, sem a nők önmagukban nem lehetnek 14-en vagy többen. A táblázatból olyan számokat kell keresnünk a nők és férfiak létszámára, melyek összesen legfeljebb 83 kézfogást eredményeznek, és a 83-ig megmaradó kézfogások száma nem több, mint a két csoport együttes létszáma. (A nők és férfiak létszáma a végeredmény szempontjából felcserélhető, így elég csak azt az esetet vizsgálni, amikor legalább annyi férfi van, mint nő.)

Az alábbi táblázatban ezeket a lehetőségeket foglaljuk össze:

Nők Férfiak Női kézfogások Férfi kézfogások Szomszéd kézfogásai Lehetséges-e?
5 12 10 66 7 igen
5 \(\displaystyle \leq\)11 10 \(\displaystyle \leq\)55 \(\displaystyle \geq\)18 nem
6 12 15 66 2 igen
6 11 15 55 13 igen
6 \(\displaystyle \leq\)10 15 \(\displaystyle \leq\)45 \(\displaystyle \geq\)23 nem
7 11 21 55 7 igen
7 10 21 45 17 igen
7 \(\displaystyle \leq\)9 21 \(\displaystyle \leq\)36 \(\displaystyle \geq\)23 nem
8 11 28 55 0 nem
8 10 28 45 10 igen
8 \(\displaystyle \leq\)9 28 \(\displaystyle \leq\)36 \(\displaystyle \geq\)19 nem
9 10 36 45 2 igen
9 9 36 36 11 igen

A 8+11 eset azért nem lehetséges, mert a betoppanó barát legalább egy embert ismer (a házigazdát). Tehát a betoppanó barátnak 2, 7, 10, 11, 13 vagy 17 ismerőse lehet a vendégek között.


Statisztika:

141 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:51 versenyző.
5 pontot kapott:17 versenyző.
4 pontot kapott:8 versenyző.
3 pontot kapott:12 versenyző.
2 pontot kapott:15 versenyző.
1 pontot kapott:9 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.
Nem versenyszerű:8 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:11 dolgozat.

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai