Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 630. feladat (2019. október)

K. 630. Egy parti végén, mikor már mindenki indul hazafelé, a nők a nőkkel, a férfiak a férfiakkal kezet fognak. A búcsúzkodás közben betoppan a házigazda egyik barátja, aki mindazokkal kezet fog (férfiakkal és nőkkel is), akiket ismer. Összesen 83 kézfogás történt. Tudjuk, hogy a partin résztvevő férfiak közül 5-nek ott volt a felesége is. Hány embert ismerhet a házigazda betoppanó barátja?

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Az alábbi táblázatban összefoglaljuk egy adott társaságban lezajló kézfogások számát (ahol mindenki mindenkivel pontosan egyszer fog kezet) a társaság létszámának függvényében. Mivel 5 házaspár ott volt a partin, ezért legalább 5 férfi és 5 nő is volt a résztvevők között.

Létszám Kézfogások száma Létszám Kézfogások száma
5 10 10 45
6 15 11 55
7 21 12 66
8 28 13 78
9 36 14 91

A táblázat alapján látható, hogy sem a férfiak, sem a nők önmagukban nem lehetnek 14-en vagy többen. A táblázatból olyan számokat kell keresnünk a nők és férfiak létszámára, melyek összesen legfeljebb 83 kézfogást eredményeznek, és a 83-ig megmaradó kézfogások száma nem több, mint a két csoport együttes létszáma. (A nők és férfiak létszáma a végeredmény szempontjából felcserélhető, így elég csak azt az esetet vizsgálni, amikor legalább annyi férfi van, mint nő.)

Az alábbi táblázatban ezeket a lehetőségeket foglaljuk össze:

Nők Férfiak Női kézfogások Férfi kézfogások Szomszéd kézfogásai Lehetséges-e?
5 12 10 66 7 igen
5 \(\displaystyle \leq\)11 10 \(\displaystyle \leq\)55 \(\displaystyle \geq\)18 nem
6 12 15 66 2 igen
6 11 15 55 13 igen
6 \(\displaystyle \leq\)10 15 \(\displaystyle \leq\)45 \(\displaystyle \geq\)23 nem
7 11 21 55 7 igen
7 10 21 45 17 igen
7 \(\displaystyle \leq\)9 21 \(\displaystyle \leq\)36 \(\displaystyle \geq\)23 nem
8 11 28 55 0 nem
8 10 28 45 10 igen
8 \(\displaystyle \leq\)9 28 \(\displaystyle \leq\)36 \(\displaystyle \geq\)19 nem
9 10 36 45 2 igen
9 9 36 36 11 igen

A 8+11 eset azért nem lehetséges, mert a betoppanó barát legalább egy embert ismer (a házigazdát). Tehát a betoppanó barátnak 2, 7, 10, 11, 13 vagy 17 ismerőse lehet a vendégek között.


Statisztika:

141 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Ágoston Barbara, Atanaszov Hedvig, Bagladi Milán Zsolt, Besze Zsolt, Borján Gergő, Cynolter Dorottya, Cziráki Boglárka, Deme Erik, Fehér Anna, Fekete Patrik, Ferencz Mátyás, Fürész Tibor, Hauber Henrik, Héjj Anna, Hidvégi Réka, Jakusch Tamás, Karádi Virág, Kedves Benedek János, Képiró Árpád Zsolt, Kiss 178 Máté, Kiss-Beck Tamara, Kmeczó András, Kurucz Márton, Laukó Zoltán, Mándli Örs, Morvai Eliza, Murai Dóra Eszter, Nagy László Zsolt, Pekk Márton, Pongrácz Karolina, Pulics Martin, Radzik Réka, Révai Csenge, Sachs Beáta, Schleier Anna , Sipos Dorka, Slézia Dávid, Somlai Dóra, Szabó Viktória, Szirtes Berta , Szirtes Hanna, Tóth Gréta, Van Rijs Dóra, Van Rijs Luca, Vankó Lóránt Albert, Varga 128 Erik, Vaszilievits-Sömjén Villő, Viczián Dániel, Waldhauser Miklós, Zierer Fanni.
5 pontot kapott:14 versenyző.
4 pontot kapott:16 versenyző.
3 pontot kapott:21 versenyző.
2 pontot kapott:13 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:18 dolgozat.

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai