A K. 631. feladat (2019. október)

K. 631. Indokoljuk lépésről lépésre, hogy igaz a következő állítás: ha tíz pozitív egész szám szorzata három nullára végződik, akkor van közöttük hat olyan szám, amelyek szorzatára ugyanez teljesül.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a 10 pozitív egész szám szorzata három 0-ra végződik, akkor osztható 1000-rel. Mivel \(\displaystyle 1000=2^3\cdot5^3\), ezért a szorzat prímtényezős felbontásában szerepel legalább 3 db 5-ös, és legalább 3 db 2-es. Ezen prímtényezők mindegyikére igaz, hogy valamelyik szám prímtényezős felbontásából származnak, tehát ha csak azokat a számokat vesszük, amelyek ezeket tartalmazzák prímtényezőként, akkor azok szorzata is osztható 1000-rel. Ez a hat prímtényező legfeljebb hat különböző számból származhat, így ezen számok, szükség esetén a maradék számok közül néhánnyal hat darabra kiegészítve őket, megfelelők a feladat szempontjából.

Statisztika:

150 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	66 versenyző.
5 pontot kapott:	22 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	7 dolgozat.

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai