Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 635. feladat (2019. november)

K. 635. Vegyünk egy konkáv négyszöget, és rajzoljuk meg a négyszög belsejében haladó átlóját. Az átló két háromszögre vágja a négyszöget. Igazoljuk, hogy pontosan akkor egyenlő a két háromszög területe, ha ezen átló egyenese felezi a másik átlót.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Tekintsük az alábbi ábrát:

Ha a \(\displaystyle BD\) átló két egyforma területű háromszögre vágja a négyszöget, akkor ezen háromszögek \(\displaystyle BD\)-hez tartozó magasságai megegyeznek. Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) csúcson keresztül \(\displaystyle BD\)-vel húzott párhuzamosok középpárhuzamosa \(\displaystyle BD\).

Mivel a középpárhuzamos bármely olyan szakaszt felez, mely a párhuzamosok egy-egy pontját köti össze, ezért a \(\displaystyle BD\) egyenes felezi az \(\displaystyle AC\) szakaszt.

Ez az állítás megfordítva is igaz: ha \(\displaystyle BD\) átmegy \(\displaystyle AC\) felezőpontján, akkor a két párhuzamos egyenes középpárhuzamosa, tehát egyenlő távolságra van a két párhuzamostól. Emiatt a két háromszög \(\displaystyle BD\)-hez tartozó magassága megegyezik, vagyis a két háromszög területe is egyenlő.


Statisztika:

A K. 635. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai