Problem K. 645. (January 2020)

K. 645. What will be the remainder if \(\displaystyle 1+4+7+\dots+2020\) is divided by 8?

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az összegben szereplő tagok darabszámát határozzuk meg először. Minden szám \(\displaystyle 3k-2\) alakú, ahol \(\displaystyle k\)=1, 2, 3, 4, ..., 674, tehát 674 darab számot adunk össze. Egy összeg 8-cal való osztásának maradékát megkaphatjuk úgy, hogy az összegben szereplő tagokból leválasztjuk a 8-cal osztható részt, és csak a maradékokat adjuk össze, és ennek az összegnek vizsgáljuk a 8-as maradékát.

Az 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, stb. számok rendre 1, 4, 7, 2, 5, 0, 3, 6; 1, 4, ... maradékot adnak 8-cal osztva. Megfigyelhető, hogy az első 8 szám ismétlődik ebben a sorozatban. Ezek összege 28, ami 8-cal osztva 4-et ad maradékul. Tehát ha két ilyen 8-as sorozatot írunk egymás után, és az így kapott 16 szám ismétlődését vizsgáljuk, akkor ezek összege 8-cal osztható. 674 : 16 = 42, a maradék 2, tehát a 16-os csoportokon felül még 2 számot kell figyelembe vennünk. A két maradék: 1+4 = 5.

Tehát a vizsgált összeg 8-cal osztva 5-öt ad maradékul.

Statistics:

157 students sent a solution.
6 points:	76 students.
5 points:	31 students.
4 points:	19 students.
3 points:	9 students.
2 points:	7 students.
1 point:	6 students.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2020