Problem K. 646. (January 2020)
K. 646. We have three machines. Each of them has two input channels and one output channel. As represented in the diagram, the machines carry out some well defined sequence of operations with the numbers obtained through the input channels, and display the final result as output.
Machine A displays \(\displaystyle x\cdot y\), machine B displays \(\displaystyle x^2+y\), and machine C displays \(\displaystyle 5\cdot x+3\cdot y\) where \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\) stand for the first and second input numbers, respectively. The machines A, B and C are connected by attaching the outputs of two machines to the inputs of the third one. What is the largest possible output that may be obtained from the third machine if the inputs of the first two machines are the same, \(\displaystyle x=4\) and \(\displaystyle y=7\)?
(6 pont)
Deadline expired on February 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Elvileg hat lehetőség van a gépek összekötésére, de ebből kettő azonos eredményt ad. A lehetőségek: 1) A bemeneteire kötjük B-t és C-t (ez sorrendfüggetlen a művelet szimmetriája miatt), 2) B bemeneteire kötjük A-t és C-t (két lehetőség), valamint 3) C bemeneteire kötjük A-t és B-t (ez is két lehetőség).
Az öt lehetőséget megvizsgálva megkapjuk a legnagyobb lehetséges kimeneteli értéket.
A betáplált számok nagyságát a kimenettel összefüggésben figyelembe véve a két-két esetből mindig az egyikben nyilvánvalóan nagyobb kimeneti érték lesz, és elég csak ezt vizsgálni.
Az adott \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) értékek esetén a három gép (A, B és C) kimeneti értéke: \(\displaystyle xy=28\); \(\displaystyle x^2+y=23\) és \(\displaystyle 5x+3y=41\).
Az 1) lehetőségben a kimeneti érték: \(\displaystyle 23\cdot41=943\); a 2) lehetőségben a kétfajta gép kimeneti értéke: \(\displaystyle 28^2+41<41^2+28=1709\); végül a 3) lehetőségben a kimeneti értékek: \(\displaystyle 5\cdot23+3\cdot28<5\cdot28+3\cdot23=209\).
Tehát a lehető legnagyobb eredmény, amit kaphatunk az \(\displaystyle 1709\).
Statistics:
145 students sent a solution. 6 points: 102 students. 5 points: 3 students. 4 points: 6 students. 3 points: 5 students. 2 points: 10 students. 1 point: 3 students. 0 point: 11 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 3 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2020