Problem K. 647. (January 2020)

K. 647. An icosahedron made of paper is cut along some edges to unfold in the plane and obtain the net of the solid. How many edges need to be cut?

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ikozaédernek 20 háromszöglapja (mind szabályos háromszög) és 30 éle van. (Ez az ábráról leolvasható, vagy kiszámolható az alábbi gondolatmenettel: a 20 lapnak összesen 60 éle van, de minden él két lap találkozásánál található, így az élek száma 60:2=30.)

Az ikozaéder minden csúcsában öt háromszög csatlakozik. Emiatt a síkba terített hálójában egy csúcs körül legfeljebb öt háromszög lehet, hiszen ha több lenne, akkor nem lehetne oktaédert hajtani az alakzatból (hatnál több persze eleve nem is lehetne, hiszen \(\displaystyle 6\cdot60^{\circ}=360^{\circ}\)).

Így a hálót felépíthetjük valamelyik ,,szélső" háromszögtől kezdve, rendre egy-egy háromszög hozzáillesztésével valamelyik oldalhoz. 20 háromszög van, így 19 illesztés lesz. Tehát egy ikozaéder bármelyik hálója 20 háromszögből áll, melyek 19 oldal (él) mentén csatlakoznak egymáshoz. Így minden esetben \(\displaystyle 30 - 19 = 11\) élt kell felvágni.

Megjegyzés. A sok 3 pontos dolgozat annak köszönhető, hogy sokan egy konkrét testhálóra bizonyították az állítást, holott nem csak egyfajta testháló létezik.

Statistics:

104 students sent a solution.
6 points:	Abonyi Bence, Ámon Benedek, Besze Zsolt, Fehér Anna, Fekete Patrik, Ferencz Mátyás, Gál Csaba, Gardev Dániel, Hajós Balázs, Hangodi Hajnalka, Hartmann Botond, Karádi Virág, Kedves Benedek János, Kiss-Beck Tamara, Kovács 212 Sára, Nagy László Zsolt, Ökördi Laura, Pekk Márton, Slézia Dávid, Szirtes Hanna, Szittyai Anna, Wodala János, Zsuffa Móric.
5 points:	Ágoston Barbara, Árok Anna, Deme Erik, Fürész Tibor, Jójárt Emese, Morvai Eliza, Nagy 999 Csanád, Szittya Marcell Kristóf, Tóth Gréta, Zupkó Bence Kristóf.
4 points:	5 students.
3 points:	43 students.
2 points:	9 students.
1 point:	7 students.
0 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2020