Problem K. 661. (September 2020)

K. 661. The sides of a regular octagon \(\displaystyle ABCDEFGH\) are 2 units long. Two squares, \(\displaystyle BCIM\) and \(\displaystyle GHNP\) are constructed on sides \(\displaystyle BC\) and \(\displaystyle GH\), inside the octagon. Show that the points \(\displaystyle N\) and \(\displaystyle M\) coincide.

(6 pont)

Deadline expired on October 12, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szabályos nyolcszög egy belső szöge \(\displaystyle 135^{\circ}\). Mivel \(\displaystyle ABM\angle = 135^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}=180^{\circ}-135^{\circ}\), ezért \(\displaystyle AH\) és \(\displaystyle BM\) párhuzamosak. Az \(\displaystyle ABMH\) négyszögnek van két párhuzamos és egyenlő hosszú oldala, ezért az \(\displaystyle ABMH\) négyszög paralelogramma. Mivel \(\displaystyle AH = AB = BM = 2\), ezért \(\displaystyle HM = 2\). Mivel az \(\displaystyle ABMH\) paralelogramma minden oldala egyenlő, ezért rombusz, így \(\displaystyle AHM\angle=45^{\circ}\), ahonnan \(\displaystyle GHM\angle= 135^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}\).

Tehát a \(\displaystyle GH\) és \(\displaystyle HM\) szakaszok egyenlő hosszúak és derékszöget zárnak be, vagyis \(\displaystyle M\) megegyezik a \(\displaystyle GHNP\) négyzet \(\displaystyle N\) csúcsával. Az állítást beláttuk.

Statistics:

160 students sent a solution.
6 points:	79 students.
5 points:	10 students.
4 points:	7 students.
3 points:	16 students.
2 points:	9 students.
1 point:	13 students.
0 point:	21 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020