A K. 678. feladat (2020. december) |
K. 678. Az asztalon egy sorban egymás mellett fekszik 2020 db pénzérme váltakozva fej, írás, fej, írás, ... sorrendben. Egy lépésben egyszerre bármelyik három szomszédos pénzérmét átfordítjuk a másik oldalára. Elérhető-e ilyen lépések sorozatával, hogy minden pénzérme írást mutasson?
(6 pont)
A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Számozzuk be a pénzérméket balról jobbra haladva, hogy könnyebben lehessen róluk beszélni! Az 1-es érmét páratlanszor kell megfordítanunk, hogy írás legyen a végén, így az (123) érmeegyüttest is páratlanszor fordítjuk meg, mert az 1-est csak így tudjuk átfordítani. A 2-es érmét összesen párosszor kell megfordítanunk, az (123) forgatásokban páratlanszor fordult, így a (234) forgatásokban is páratlanszor kell fordulnia, tehát ebből is páratlan sokat kell végrehajtanunk. A (345) forgatásokból a 3-as érme miatt ismét páratlan számút kell csinálnunk, mert eddig párosszor fordult át. A 4-es érme eddig összesen párosszor fordult át, így a (456) forgatásból páros sokat kell végrehajtanunk. Ezt folytatva, majd a kapott eredményeket táblázatba foglalva az alábbiakat kapjuk:
érme | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
szükséges forgatások | pt | ps | pt | ps | pt | ps | pt | ps | pt | ps | pt | ps | pt |
csoportforgatások | pt | pt | pt | ||||||||||
pt | pt | pt | |||||||||||
pt | pt | pt | |||||||||||
ps | ps | ps | |||||||||||
ps | ps | ps | |||||||||||
ps | ps | ps | |||||||||||
pt | pt | pt | |||||||||||
pt | pt | pt | |||||||||||
pt | pt | pt | |||||||||||
ps | ps | ps | |||||||||||
ps | ps | ps |
Megfigyelhető a táblázatban, hogy az egymás melletti hármas csoportoknál a szükséges forgatások száma hatosával páratlan-páratlan-páratlan-páros-páros-páros sorrendben követi egymást, majd ez ismétlődik. Ez azt jelenti, hogy a 6-tal osztható sorszámú érmékkel kezdődő érmehármas után kezdődik újra. Mivel 2016 osztható 6-tal, ezért a 2017-2018-2019 hármast páratlanszor, és a 2018-2019-2020 hármast is páratlanszor fogjuk megfordítani. Tehát a 2019-es érmét összesen páros sokszor, a 2020-ast pedig páratlanszor fordítjuk át, azonban pont fordítva kéne, így ez a két érme nem tud a többi érmével egyidejűleg írásra fordulni.
Statisztika:
105 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 74 versenyző. 5 pontot kapott: 2 versenyző. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 8 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai