 |
A K. 690. feladat (2021. március) |
K. 690. Peti gondolt egy pozitív egész számra és huszonhárom állítást fogalmazott meg a számmal kapcsolatban, melyek közül kettő szomszédos nem igaz, de a többi igaz.
1. Osztható 2-vel.
2. Osztható 3-mal.
3. Osztható 4-gyel.
\(\displaystyle \vdots\)
23. Osztható 24-gyel.
Peti a lehető legkisebb ilyen számra gondolt. Melyik ez a szám?
(6 pont)
A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.
Megoldás Találjuk meg a hamis állításokat!
Ha ez az első két állítás lenne, akkor a gondolt szám nem lenne osztható 2-vel és 3-mal, de ezt pl. a 3. (igaz) állítás cáfolja. Gyűjtsük táblázatba az eseteket és az érveket.
| 1-2. | 2-3. | 3-4. | 4-5. | 5-6. | 6-7. | 7-8. | 8-9. | 9-10. | |
| (Például) melyik miatt nem lehet ez a két állítás hamis? | 3. | 5. | 7. | 9. | 13. | 13. | 15. | 19. | 19. |
| 10-11. | 11-12. | 12-13. | 13-14. | 14-15. | 15-16. | 16-17. | |
| (Például) melyik miatt nem lehet ez a két állítás hamis? | 21. | 2. és 3. egyszerre | 1. és 6. egyszerre | 1. és 6.egyszerre | 2. és 4. egyszerre | 1. és 8. egyszerre |
| 17-18. | 18-19. | 19-20. | 20-21. | 21-22. | 22-23. | 23-24. | |
| Melyik miatt nem lehet ez a két állítás hamis? | 1. és 8. egyszerre | 3. és 4. egyszerre | 3. és 4. egyszerre | 2. és 6. egyszerre | 1. és 10. egyszerre | 2. és 7. egyszerre | 2. és 7. |
Egyféleképpen lehetséges csak, hogy a 24 állításból kettő szomszédos nem igaz: a szám nem osztható 16-tal és 17-tel, de minden más számmal osztható 1-től 24-ig.
A legkisebb ilyen szám ezen számok legkisebb közös többszöröse, azaz: \(\displaystyle 2^3\cdot3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 19\cdot 23=157\,477\,320\).
Statisztika:
A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai