A K. 693. feladat (2021. március)

K. 693. Az \(\displaystyle ABCD\) érintőnégyszög beírt körének középpontja \(\displaystyle O\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle DOC\sphericalangle\) és a \(\displaystyle BOA\sphericalangle\) összege \(\displaystyle 180^{\circ}\).

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a középpontból rendre az \(\displaystyle OT\), \(\displaystyle OR\), \(\displaystyle OS\) és \(\displaystyle OQ\) merőlegeseket állítjuk az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle DA\) oldalakra, akkor a szimmetria miatt az alábbi szögek egyenlők lesznek: \(\displaystyle TOB \sphericalangle= BOR \sphericalangle\), \(\displaystyle ROC \sphericalangle = COS \sphericalangle\), \(\displaystyle SOD \sphericalangle = DOQ \sphericalangle\), \(\displaystyle QOA \sphericalangle = AOT \sphericalangle\). Ezen nyolc szög összege \(\displaystyle 360^{\circ}\). Mivel \(\displaystyle DOC \sphericalangle=DOS\sphericalangle+COS\sphericalangle\) és \(\displaystyle BOA \sphericalangle= TOB \sphericalangle + AOT\sphericalangle\), ezért \(\displaystyle DOC\sphericalangle+BOA\sphericalangle=DOS\sphericalangle+COS\sphericalangle+TOB \sphericalangle + AOT\sphericalangle=\frac{360^{\circ}}{2}=180^{\circ}\), mert minden szögpárból az egyik szerepel az összegben.

Statisztika:

78 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	62 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai