Problem K. 745. (December 2022)
K. 745. In a game, players are collecting points. The players take turns in playing and scoring points. When a certain player is playing, he or she may get any non-negative integer of points (including 0). The points scored by a player in successive turns add up. The game terminates when the total of the points scored by the players reaches 1000 (that is, the last player may only score as many points as needed to make the total equal to 1000). The player with the largest number of points will win the game. In the case of equality, the player reaching the same score earlier will win. The player with the second largest number of points will finish in the second place, and so on.
At the moment, the scores of the players are as follows: Kate has 314 points, Sam has 207 points, John has 58 points, Gillian has 31 and Joe has 0.
\(\displaystyle a)\) If it is Kate's turn now, what is the minimum number of points she needs to gain in this turn in order to be certain that she will finish in the first or second place?
\(\displaystyle b)\) If it is Sam's turn now, what is the minimum number of points he needs to gain in this turn in order to be certain that he will finish in the first or second place?
\(\displaystyle c)\) If it is Joe's turn now, what is the minimum number of points he needs to gain in this turn in order to be certain that he will finish in the first or second place?
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Kati akkor nem lesz legalább második helyezett, ha két másik játékos is megelőzi őt, azaz – mivel most Kati jön – a végén ketten is több pontot szereznek nála. A lehető legkevesebb pont felhasználásával ezt Sanyi és Jancsi tudná megtenni. Ha ők már nem tudják Katit mindketten megelőzni, mert nem lesz ehhez elég maradék pont az 1000-ből, akkor a többi játékos sem tudja ezt megtenni, mert nekik még több pont kellene hozzá. Ha az 1000-ből a Gizi 31 pontján kívüli 969 pont harmadát, 323 pontot összesen megszerez Kati, akkor ezzel elérte a célját, hiszen a végelszámolásnál a másik két játékos legfeljebb a kétharmadon osztozhat, így mindkettőjük egyszerre nem szerezhet többet ennél az egyharmad résznél. (322 pont azonban nem elegendő Katinak, mert ebben az esetben a végén lehet például rendre 322, 324, 323, 31, 0 a megszerzett pontok száma, vagyis ketten is megelőzhetik őt.) Tehát Katinak minimálisan \(\displaystyle 323-314=9\) pontot kell szereznie ebben a körben.
\(\displaystyle b)\) Sanyi esetében ugyanazt mondhatjuk el, mint az előbb Katinál (őt a lehető legkevesebb pont felhasználásával Kati és Jancsi előzhetné meg), így neki is összesen 323 pontot kell megszereznie. Tehát Sanyinak minimálisan \(\displaystyle 323-207=116\) pontot kell szereznie ebben a körben.
\(\displaystyle c)\) Eddig összesen \(\displaystyle 314+207+58+31=610\) pontot szereztek a játékosok, így 390 pont szerezhető még. Józsinak most 207 pont a hátránya Sanyival szemben. Ha Józsi a hátralevő 390 pontból megszerezne 207-et, és a maradék felét, akkor Sanyi már nem tudná visszaelőzni. \(\displaystyle (390-207):2=91,5\), felfelé kerekítve 92. Tehát ha Józsi a most következő körben megszerez legalább \(\displaystyle 207+92=299\) pontot, akkor Sanyi már nem tudja visszaelőzni, mert neki a hátralevő 91 ponttal csak 298 pontja lenne. Így, ha Józsi nem szerzett 314 pontnál többet, akkor második lesz; egyébként pedig már csak Kati tudja megelőzni, mert neki lesz még erre lehetősége. Tehát a második vagy jobb helyezést garantált.
Statistics:
65 students sent a solution. 5 points: Castro Csongor, Demeter Hanna Bereniké, Derűs Ádám , Domján István, Juhász Jázmin Izabella, Kaposi-Ly Dávid, Kókai Ákos, Kormos Gellért, Kökény Kristóf, Libor Andrea, Molnár Lili, Sipos Márton, Tóth 207 Bence. 4 points: Tóth Hanga Katalin. 3 points: 14 students. 2 points: 22 students. 1 point: 4 students. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 2 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2022