Problem K. 746. (December 2022)

K. 746. In a certain small country, citizens are charged for gas consumption as follows: in the first year of the new regulations, the first 1700 m\(\displaystyle {}^3\) of gas costs 100 pennies/m\(\displaystyle {}^3\), and any further consumption costs 750 pennies/m\(\displaystyle {}^3\). From the following year onwards, the quantity sold for the reduced price is determined each year from the nationwide average consumption of the previous year. John Average lives in this country, and he used gas with these conditions for a year. Then he realized that he was paying too much, and decided to economise with the gas used in his household. He succeeded in reducing his consumption by 10% in the following year. However, since everyone was trying to save money, the mean consumption decreased by 15%. Although John Average used less gas than previously, he still had to pay more (for the whole year) than in the previous year. What may have been John's consumption during the first year?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A második évben az \(\displaystyle 1700\) m\(\displaystyle ^3\)-es országos átlagfogyasztás \(\displaystyle 15\)%-kal csökkent, tehát \(\displaystyle 0,85\cdot1700=1445\) lett. Ha János 10%-kal csökkentett fogyasztása \(\displaystyle 1445\) m\(\displaystyle ^3\) alatt lett volna, akkor az első évben legfeljebb \(\displaystyle 1605,56\) m\(\displaystyle ^3\) gázt fogyasztott volna el, és így mindkét évben a kedvezményes gázmennyiségen belül maradt volna, vagyis a kevesebb fogyasztással csökkent volna a második évi számlája. Legyen \(\displaystyle x\) m\(\displaystyle ^3\) a János által az első évben elfogyasztott gáz mennyisége. A fentiek szerint két esetet kell vizsgálnunk:

1. eset: \(\displaystyle 1605,56 < x \leq 1700\), mert ekkor az első évben csak kedvezményes áron fogyasztott gázt, míg a második évben már a kedvezményes határ felett is vásárolt, a megnövelt áron.

2. eset: \(\displaystyle x > 1700\), mert ekkor mindkét évben fogyasztott a kedvezményes árnál drágább gázból is.

1. eset vizsgálata: Ha \(\displaystyle 1605,56 < x \leq 1700\), akkor János az első évben \(\displaystyle x\cdot100\) petákot, a második évben pedig \(\displaystyle (0,9x-1445)\cdot750+1445\cdot100\) petákot fizetett. Mivel a második évben többet fizetett, mint az első évben, ezért igaz, hogy \(\displaystyle x\cdot100 < (0,9x-1445)\cdot750+1445\cdot100\). Rendezés után azt kapjuk, hogy \(\displaystyle x > 1633,48\).

2. eset vizsgálata: Ha \(\displaystyle x > 1700\), akkor János az első évben \(\displaystyle (x-1700)\cdot750+1700\cdot100\) petákot, a második évben \(\displaystyle (0,9x-1445)\cdot750+1445\cdot100\) petákot fizetett. Mivel a második évben többet fizetett, mint az első évben, ezért igaz, hogy \(\displaystyle (x-1700)\cdot750+1700\cdot100<(0,9x-1445)\cdot750+1445\cdot100\). Rendezve az egyenlőtlenséget \(\displaystyle 75x<165\,750\), azaz \(\displaystyle x<2210\).

Tehát ha János a második évben többet fizetett, mint az első évben, akkor a fogyasztása \(\displaystyle 1633,48\) és \(\displaystyle 2210\) m\(\displaystyle ^3\) közé esett az első évben.

Statistics:

63 students sent a solution.
5 points:	Csikai Anna Alida, Denke-Pataki Dávid, Derűs Ádám , Domján István, Gergely-Szóráth Dávid, Horváth Imre, Illés Hanna, Komlósdi Sára, Kökény Kristóf, Sipos Márton, Stingli Zsuzsanna, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Szabó Zétény Attila, Tóth 207 Bence.
3 points:	26 students.
2 points:	4 students.
1 point:	4 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2022