Problem K. 755. (February 2023)

K. 755. What is the maximum possible number of sides that a convex polygon may have if it has exactly 3 obtuse angles? Give an example of such a polygon.

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy \(\displaystyle n\) oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege \(\displaystyle (n - 2) \cdot 180^{\circ}\). A három tompaszög ebből összesen több, mint \(\displaystyle 3 \cdot 90^{\circ}\), de kevesebb, mint \(\displaystyle 3 \cdot180^{\circ}\). A maradék \(\displaystyle n-3\) szög nem tompaszög, tehát egyenként legfeljebb \(\displaystyle 90^{\circ}\)-osak. Azaz \(\displaystyle (n - 2) \cdot 180^{\circ} < 3 \cdot 180^{\circ} + (n - 3) \cdot 90^{\circ}\), amiből \(\displaystyle 2(n - 2) < n -3 + 6\), azaz \(\displaystyle n < 7\), tehát legfeljebb hat oldalú lehet a sokszög.

Ilyen konvex hatszögek valóban léteznek, ahogy azt az alábbi ábra két hatszöge mutatja.

Az \(\displaystyle ABCDE\) hatszög szögeinek nagysága rendre

\(\displaystyle 90^{\circ}, 150^{\circ}, 150^{\circ}, 150^{\circ}, 90^{\circ},\)

míg a \(\displaystyle GHIJKL\) hatszög szögeinek mértéke rendre

\(\displaystyle 80^{\circ}, 165^{\circ}, 150^{\circ}, 75^{\circ}, 165^{\circ}, 85^{\circ}.\)

Mindkét hatszög eleget tesz a feladat minden feltételének.

Statistics:

64 students sent a solution.
5 points:	Hárs Kende, Horváth Imre, Korcsik Lujza, Libor Andrea, Molnár Lili, Móricz Zsombor, Som Dóra, Tóth 207 Bence.
4 points:	Bartusková Viktória, Csorba Marcell, Derűs Ádám , Domján István, Farkas Máté, Király Lilla Virág, Kókai Ákos, Kökény Kristóf, Ligeti Ábel, Mann Elinor, Pulka Gergely Tamás, Szabó 926 Bence, Szabó Dániel György, Török Szilárd.
3 points:	8 students.
2 points:	9 students.
1 point:	2 students.
0 point:	16 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2023