Problem K. 756. (February 2023)

K. 756. A shop sells wooden cubes in two sizes: cubes of edge 1 cm and those with edges of 2 cm. The surfaces of the cubes are painted. In the case of the smaller cubes the paint represents 60% of the material costs, while the rest is the price of the wood. Both kinds of cube are made of the same type of wood and they are coated with a thin layer of paint with the same thickness. Labour costs are the same for each cube, independent of the size.

Considering all costs, it costs the shop 830 forints (HUF, Hungarian currency) to manufacture 10 small cubes and 5 large ones. 5 small cubes and 15 large ones cost 1490 forints to manufacture. What is the labour cost of one cube?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen 1 cm\(\displaystyle ^3\) faanyag ára \(\displaystyle x\) Ft, ebben az esetben a kis kockát tekintve a rákerülő 6 cm\(\displaystyle ^2\)-nyi festék ára \(\displaystyle \frac{60}{40}x=1,5x\), tehát az anyagköltség egy kis kockára \(\displaystyle 2,5x\). A nagyobb kockához 8 cm\(\displaystyle ^3\) fa és 24 cm\(\displaystyle ^2\) festék kell, ezek ára \(\displaystyle 8x\) és \(\displaystyle 1,5x\cdot4=6x\), tehát a teljes anyagköltség \(\displaystyle 14x\). A munkadíj legyen kockánként \(\displaystyle y\). A megadott összefüggésből \(\displaystyle 25x+70x+15y = 830\), \(\displaystyle 12,5x+210x+20y=1490\). Összevonva \(\displaystyle 95x+15y=830\) és \(\displaystyle 222,5x+20y=1490\). Az első egyenletet 4-gyel, a másodikat 3-mal szorozva \(\displaystyle 380x+60y=3320\) és \(\displaystyle 667,5x+60y=4470\). A két egyenlet megfelelő oldalainak különbségéből \(\displaystyle 287,5x=1150\), innen \(\displaystyle x=4\). Behelyettesítéssel kapjuk, hogy egy kocka munkadíja, \(\displaystyle y=30\).

Statistics:

67 students sent a solution.
5 points:	Balogh Bendegúz, Agárdi Balázs, Barna 201 Krisztina, Bartók Márton, Bartusková Viktória, Castro Csongor, Csikai Anna Alida, Derűs Ádám , Domján István, Engi Zita, Fábián Kristóf, Farkas Máté, Gyulai Eliza Dorka, Halasi Nóra, Horváth Imre, Juhász Noel, Kókai Ákos, Komlósdi Sára, Kökény Kristóf, Labádi Balázs, Libor Andrea, Ligeti Ábel, Madár András, Mátyás Míra, Molnár Lili, Móricz Zsombor, Paskucz Kinga, Pulka Gergely Tamás, Sipos Márton, Som Dóra, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Szabó Dániel György, Szakács Bence Mihály, Tajta Sára, Takács Boglárka, Tóth 207 Bence, Tóth Hanga Katalin, Tóth Kinga, Törő György Milán, Török Szilárd, Veréb-Fekete Bence.
4 points:	Becse György, Incze-Nagy Enéh, Nagy Ádám 699, Páternoszter Tamás.
3 points:	11 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2023