Problem K. 765. (April 2023)
K. 765. The midpoint of side \(\displaystyle AB\) of a triangle \(\displaystyle ABC\) is \(\displaystyle D\), and the midpoint of \(\displaystyle CD\) is \(\displaystyle E\). Which point of the line segment \(\displaystyle CD\) should be marked \(\displaystyle F\) so that the sum of the areas of triangles \(\displaystyle AEC\) and \(\displaystyle BFC\) is exactly \(\displaystyle 40\%\) of the area of triangle \(\displaystyle ABC\)?
Proposed by B. Bálint, Eger
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tekintsük az alábbi ábrát.
Ismert, hogy a háromszög súlyvonala felezi a háromszög területét, ezért a \(\displaystyle CD\) súlyvonal által létrehozott \(\displaystyle ADC\) háromszög területe éppen fele az \(\displaystyle ABC\) háromszög területének.
Ugyanakkor az \(\displaystyle AE\) szakasz súlyvonala az \(\displaystyle ADC\) háromszögnek, tehát \(\displaystyle AE\) felezi az \(\displaystyle ADC\) háromszög területét. Ebből azonnal következik, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{T_{AEC}=\frac{T_{ABC}}{4}}.\) |
A feladat feltétele szerint:
\(\displaystyle \displaystyle{T_{AEC}+T_{FBC}=0,4\cdot T_{ABC}},\)
ahonnan (1) felhasználásával kapjuk, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{0,25\cdot T_{ABC}+T_{FBC}=0,4\cdot T_{ABC}},\)
azaz
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{T_{FBC}=0,15\cdot T_{ABC}}.\) |
A \(\displaystyle CFB\) és a \(\displaystyle CDB\) háromszögek \(\displaystyle B\) csúcshoz tartozó magassága egyenlő, ezért területeikre igaz, hogy:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \frac{CF}{CD}=\frac{T_{FBC}}{T_{CDB}}=\frac{0,15\cdot T_{ABC}}{0,5\cdot T_{ABC}}=\frac{3}{10}.\) |
A kapott eredmény azt jelenti, hogy az \(\displaystyle F\) pontot a \(\displaystyle CD\) szakaszon a \(\displaystyle C\)-től számított harmadik tizedelőpontban kell felvenni, és (3)-ból az is világosan látszik, hogy ez az \(\displaystyle F\) pont megfelel a feladat azon feltételének, hogy a \(\displaystyle CD\) szakasz belső pontja legyen.
Statistics:
42 students sent a solution. 5 points: Agárdi Balázs, Derűs Ádám , Domján István, Horváth Imre, Juhász Noel, Kókai Ákos, Kökény Kristóf, Libor Andrea, Lukács Ármin, Móricz Zsombor, Pulka Gergely Tamás, Tajta Sára, Tóth Hanga Katalin. 4 points: Bartusková Viktória, Hodossy-Takács Ráhel, Labádi Balázs, Mixtay Marcell, Molnár Lili, Tóth 207 Bence, Valánszki Bulcsú. 3 points: 3 students. 2 points: 1 student. 1 point: 3 students. 0 point: 8 students. Unfair, not evaluated: 5 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 2 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2023