A K. 765. feladat (2023. április)

K. 765. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle AB$ oldalának felezőpontja $\displaystyle D$ , a $\displaystyle CD$ szakasz felezőpontja $\displaystyle E$ . Hol kell felvenni a $\displaystyle CD$ szakaszon az $\displaystyle F$ pontot, hogy az $\displaystyle AEC$ és $\displaystyle BFC$ háromszögek területének összege az $\displaystyle ABC$ háromszög területének pontosan $\displaystyle 40\%$ -a legyen?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük az alábbi ábrát.

Ismert, hogy a háromszög súlyvonala felezi a háromszög területét, ezért a $\displaystyle CD$ súlyvonal által létrehozott $\displaystyle ADC$ háromszög területe éppen fele az $\displaystyle ABC$ háromszög területének.

Ugyanakkor az $\displaystyle AE$ szakasz súlyvonala az $\displaystyle ADC$ háromszögnek, tehát $\displaystyle AE$ felezi az $\displaystyle ADC$ háromszög területét. Ebből azonnal következik, hogy

$\displaystyle (1)$

$\displaystyle \displaystyle{T_{AEC}=\frac{T_{ABC}}{4}}.$

A feladat feltétele szerint:

$\displaystyle \displaystyle{T_{AEC}+T_{FBC}=0,4\cdot T_{ABC}},$

ahonnan (1) felhasználásával kapjuk, hogy

$\displaystyle \displaystyle{0,25\cdot T_{ABC}+T_{FBC}=0,4\cdot T_{ABC}},$

azaz

$\displaystyle (2)$

$\displaystyle \displaystyle{T_{FBC}=0,15\cdot T_{ABC}}.$

A $\displaystyle CFB$ és a $\displaystyle CDB$ háromszögek $\displaystyle B$ csúcshoz tartozó magassága egyenlő, ezért területeikre igaz, hogy:

$\displaystyle (3)$

$\displaystyle \frac{CF}{CD}=\frac{T_{FBC}}{T_{CDB}}=\frac{0,15\cdot T_{ABC}}{0,5\cdot T_{ABC}}=\frac{3}{10}.$

A kapott eredmény azt jelenti, hogy az $\displaystyle F$ pontot a $\displaystyle CD$ szakaszon a $\displaystyle C$ -től számított harmadik tizedelőpontban kell felvenni, és (3)-ból az is világosan látszik, hogy ez az $\displaystyle F$ pont megfelel a feladat azon feltételének, hogy a $\displaystyle CD$ szakasz belső pontja legyen.

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Agárdi Balázs, Derűs Ádám , Domján István, Horváth Imre, Juhász Noel, Kókai Ákos, Kökény Kristóf, Libor Andrea, Lukács Ármin, Móricz Zsombor, Pulka Gergely Tamás, Tajta Sára, Tóth Hanga Katalin.

4 pontot kapott: Bartusková Viktória, Hodossy-Takács Ráhel, Labádi Balázs, Mixtay Marcell, Molnár Lili, Tóth 207 Bence, Valánszki Bulcsú.

3 pontot kapott: 3 versenyző.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

1 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 8 versenyző.

Nem versenyszerű: 5 dolgozat.

Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.

A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai

42 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agárdi Balázs, Derűs Ádám , Domján István, Horváth Imre, Juhász Noel, Kókai Ákos, Kökény Kristóf, Libor Andrea, Lukács Ármin, Móricz Zsombor, Pulka Gergely Tamás, Tajta Sára, Tóth Hanga Katalin.
4 pontot kapott:	Bartusková Viktória, Hodossy-Takács Ráhel, Labádi Balázs, Mixtay Marcell, Molnár Lili, Tóth 207 Bence, Valánszki Bulcsú.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?