Problem K. 771. (May 2023)
K. 771. Frankie cut a rectangle into exactly nine squares. On inspection, he observed that the area of one square was \(\displaystyle 64~\mathrm{cm}^2\), the areas of two other squares were \(\displaystyle 16~\mathrm{cm}^2\), and the rest of them were \(\displaystyle 4~\mathrm{cm}^2\) each. What was the perimeter of the original rectangle?
Proposed by K.\(\displaystyle \,\)A. Kozma, Győr
(5 pont)
Deadline expired on June 12, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A kilenc négyzet területösszege egyenlő az eredeti téglalap területével, ami
\(\displaystyle 64 + 2 \cdot 16 + 6 \cdot 4 = 120 ~\text{cm}^2.\)
A négyzetek oldalai \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 4\), illetve \(\displaystyle 2\) centiméteresek. A négyzetek oldalai páros számok, így a téglalap oldalai is azok voltak. A \(\displaystyle 120\) négyféleképpen bontható fel két páros szám szorzatára:
\(\displaystyle 120 = 2 \cdot 60 = 4 \cdot 30 = 6 \cdot 20 = 10 \cdot 12.\)
Ezek közül csak a legutolsó lehetséges, hiszen a legnagyobb négyzet oldala \(\displaystyle 8\) cm hosszú, így a téglalap oldalai is legalább \(\displaystyle 8\) cm hosszúak. A \(\displaystyle 10\)-szer \(\displaystyle 12\)-es téglalap valóban kirakható a négyzetekből úgy, hogy a \(\displaystyle 6\) kicsi darabot egymás mellé sorban lerakjuk, alá a legnagyobbat, illetve a nagy mellé a két közepes darab éppen elfér egymás alá.
A téglalap kerülete \(\displaystyle 2 \cdot (10 + 12) = 44\) centiméter.
Megjegyzés. A konstrukció ábrával történő megadása önmagában nem teljes értékű megoldás. A megoldás során meg kell mutatni, hogy más elrendezés nem lehetséges.
Statistics:
34 students sent a solution. 5 points: Bodor Csanád, Castro Csongor, Csikai Anna Alida, Domján István, Hodossy-Takács Ráhel, Horváth Imre, Juhász Noel, Kiss Máté, Kókai Ákos, Libor Andrea, Mátyás Míra, Molnár Lili, Móricz Zsombor, Páternoszter Tamás, Pulka Gergely Tamás, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Tóth Hanga Katalin. 4 points: Derűs Ádám , Ligeti Ábel. 3 points: 9 students. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2023