 |
A K. 776. feladat (2023. szeptember) |
K. 776. Egy rendezvényre sorszámozott jegyeket rendeltek egy nyomdától. Ezek előállítása úgy történik, hogy a jegyek a kinyomtatás után bekerülnek egy sorszámozó gépbe, amely minden jegyre egyedi sorszámot nyom, mindig 1-gyel növelve az aktuálisan nyomandó sorszámot. A nyomda elkészítette a megrendelt darabszámnak megfelelően a sorszámozatlan jegyeket, azonban a sorszámozó gép a meghibásodása miatt minden 3-mal osztható sorszámot kétszer adott ki egymás után. A megrendelt jegyekre a sorszámokhoz így összesen 3672 számjegyet használtak el (a sorszámozás 1-gyel kezdődött). A gép megjavítása után hány jegyet kell újra sorszámozni a most már hibátlanul sorszámozó géppel?
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Tekintettel a nagy számjegyszámra feltételezhetjük, hogy a kiadott legnagyobb sorszám legalább háromjegyű volt. Ebben az esetben az egyjegyű sorszámokra \(\displaystyle 9+3=12\), a kétjegyű sorszámokra \(\displaystyle 90\cdot2+30\cdot2=240\) számjegyet használtunk el. Maradt tehát \(\displaystyle 3672-252 = 3420\) számjegy. Ha ezeket mind háromjegyű sorszámokra használták el, akkor összesen \(\displaystyle 1140\) db háromjegyű sorszámot nyomtattak ki. Mivel minden harmadik duplán szerepelt, ez kb. \(\displaystyle 4/3\)-szorosa a háromjegyű sorszámmal helyesen kiadott jegyek számának. Ennek alapján kb. \(\displaystyle 855\) helyes háromjegyű sorszám került kiadásra. Ellenőrizve a számításokat azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 855\) háromjegyű sorszám esetén \(\displaystyle 285\) duplán kiadott szám jelenik meg, ez összesen \(\displaystyle 1140\) háromjegyű sorszámot jelent. Tehát a helytelenül kiadott sorszámok száma \(\displaystyle 3+30+285=318\), vagyis ennyi jegyet kell újranyomtatni a hibás sorszám miatt.
2. megoldás. Egyjegyű sorszámra 12 számjegyet használtak el, 9-et helyesen és 3-at a duplán számozott jegyekre. (Ez eddig 3 újraszámozandó jegy.) Kétjegyű sorszámra 240 számjegyet használtak el, \(\displaystyle 90\cdot2=180\) számjegyet helyesen, \(\displaystyle 30\cdot2=60\) számjegyet pedig a duplán számozott jegyekre. (Ez eddig \(\displaystyle 3+30=33\) újraszámozandó jegy.) Felhasználtak még \(\displaystyle 3672-(12+240)=3420\) számjegyet. Nézzük a háromjegyű sorszámot kapott jegyeket. Tekintsük közülük egy blokknak az olyan egymás után sorszámozott négy jegyet, amely két 3-mal nem osztható számú jegyet tartalmaz és az utánuk következő, már 3-mal osztható számú jegyből kettőt. (Az első blokk tehát a 100, 101, 102, 102 számokat viselő jegyekből áll.) Egy blokk számozásához 12 számjegy kell, tehát a 3420 számjegy pontosan 285 blokk számozására volt elég. Mivel \(\displaystyle 285\cdot3= 855\), így a legnagyobb kinyomtatott sorszám a \(\displaystyle 99+855=954\), vagyis négyjegyű sorszám már nem lesz. Minden blokkban egy olyan jegy van, ami helyett újat kell számozni, tehát összesen \(\displaystyle 3+30+285= 318\) darab jegyet kell újraszámozni.
Statisztika:
A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai